Sup. arcotangente

[MarcoPierro]

Assegnata la serie di funzioni : $f_n(x) = arctg (2+x^2)^n$ studiarne la convergenza puntuale ed uniforme in $RR$

Conv. puntuale : $lim_{n\to\infty} f_n(x) = pi/2 \forall x \in RR$
Conv.uniforme : $lim_{n\to\infty} max |f_n(x) - f(x)| = lim_{n\to\infty} max |arctg(2+x^2)^n - pi/2|$

Ora io so che un sup per l'arcotangente non può essere minore di $pi/2$, dunque ho $|arctg(2+x^2)^n - pi/2| <= |pi/2 -pi/2| = 0$ e quindi converge anche uniformemente. Il ragionamento fila o è totalmente sbagliato?

[anto_zoolander]

La convergenza puntuale è sbagliata
Posto $f_n(x)=arctan(2+x^2)^n,forall (n,x) inNNtimesRR$
Posto $x_0 inRR$ si deve vedere cosa succede a

$lim_(n->+infty)arctan(2+x_0^2)^n$

$•$ nota che $f_n(x_0)=f_n(-x_0)$ quindi è una successione di funzioni pari e pertanto la possiamo studiare su $[0,+infty)$

$•$ posto $g(x)=arctan(2+x^2)$ possiamo subito notare che è simile alla successione di funzioni $x^n$
Pertanto preso $0
$•$ ricordati $lim_(x->+infty)arctan(x)=pi/2$ è questo il limite che intendi tu.

Ora $0leqarctan(2+x^2)<1=>0leq2+x^2-2leqx^2 Questa non è soddisfatta per alcun $x inRR$ poiché $tan1-2<0$ questo significa che non esiste alcun sottoinsieme di $[0,+infty)$ tale che $g(A) in [0,1)$

Di fatto $arctan(2+x^2)geq1=>x^2geqtan(1)-2$ e questa è vera per ogni $x inRR$
Questo significa che

$lim_(n->+infty)f_n(x)=+infty,forall x inRR$

[MarcoPierro]

Stavo per prendere un abbaglio assurdo, menomale che mi hai aiutato, ti ringrazio