Sup
Salve. Ho un dubbio, forse banale.
Posto $a € (0,1) $ perché $ Sup{|x^n| : x € (0,a)} = a^n $
Io avrei detto uguale a 1. Perché sbaglio?
Posto $a € (0,1) $ perché $ Sup{|x^n| : x € (0,a)} = a^n $
Io avrei detto uguale a 1. Perché sbaglio?
Risposte
Prendi, ad esempio, $a= 1/2$ e fai il conto.
Ponendo $ x € (0, 1/2) $ ho $ f(0)=0$ e $f(1/2)=(1/2)^n$
quindi in generale per $ x € (0, a) $ ho $ f(0)=0$ e $f(a)=a^n $
La funzione varia allora tra $0$ e $a^n$ ed essendo limitata nell'intervallo, $a^n$ ne è il sup. E' così?
quindi in generale per $ x € (0, a) $ ho $ f(0)=0$ e $f(a)=a^n $
La funzione varia allora tra $0$ e $a^n$ ed essendo limitata nell'intervallo, $a^n$ ne è il sup. E' così?
Più che altro la funzione è monotona crescente in $(0,a)$, dunque
\[ \sup_{x\in (0,a)} x^n = \lim_{x\to a^-} x^n = a^n. \]
\[ \sup_{x\in (0,a)} x^n = \lim_{x\to a^-} x^n = a^n. \]
Ok. Mi serviva per la convergenza uniforme delle successioni di funzioni.
Se fn e f sono limitate e $ Sup|fn - f| $ tende a 0 allora fn converge uniformemente a f. Però mi domando: se la funzione non è monotòna come calcolo il sup? Devo passare allo studio della derivata e calcolare praticamente il massimo della funzione?
Se fn e f sono limitate e $ Sup|fn - f| $ tende a 0 allora fn converge uniformemente a f. Però mi domando: se la funzione non è monotòna come calcolo il sup? Devo passare allo studio della derivata e calcolare praticamente il massimo della funzione?
Puoi fare così o fare delle maggiorazioni.
Trovi diversi esempi nei vecchi post.
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