\(\sum2^{-n}\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sia in questo documento a p. B9 sia sul mio testo di analisi funzionale, la cui versione in inglese è questa, scelto un $N$ tale che \(2^{-N}<\varepsilon/2\), la disuguaglianza\[\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n=1}^N 2^{-n}+\sum_{n=N+1}^{\infty}2^{-n}<\varepsilon\]
Ora, il secondo addendo del membro sinistro direi che sia \(2^{-N}<\varepsilon/2\), ma non riesco a capacitarmi della disuguaglianza, riepetuta due volte da autori diversi in dimostrazioni di teoremi diversi...
Se, invece, scegliessimo $N$ tale che \(2^{-N}<\varepsilon/3\), mi tornerebbe tutto.
$\infty$ grazie a tutti!!!

[stormy1]

a me invece torna perchè ,posto $ S_N=sum_(n = 1\ldotsN) (1/2)^n $ ,si ha $S_N=1-(1/2)^N$ e quindi
$ lim_(N -> +infty)S_N=1 $
segue che $ sum_(n =N+1 \ldots+infty)(1/2)^n=(1/2)^N $
quindi,
$epsilon/2[1-(1/2)^N]+(1/2)^N

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[DavideGenova1]

che scemo: calcolavo $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}$ come se fosse stata $\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}=2$...
$\infty$ grazie!!!