$\sum _ (n=2) ( arctg(1/n) * (1/(ln^2(n)))$ , carattere.

[Kashaman]

Mi si chiede di studiare il carattere della seguente serie numerica $\sum _ (n=2) ( arctg(1/n) * (1/(ln^2(n)))$


Ho ragionato al seguente modo. Considero $\int_2^(\+infty) 1/(x*ln^(\alpha) x)$ (1)il quale si mostra facilmente convergere per $\alpha>1$ e divergere positivamente per $\alpha <=1$.
Per il criterio dell'integrale (1) e la serie (2)$\sum_(n=2)^(+\infty) 1/(n*ln^(\alpha)(n)$ hanno lo stesso carattere.
Pongo $a_n = ( arctg(1/n) * (1/(ln^2(n)))$ e $b_n = 1/(n*ln^(\alpha)(n)$ e considero
$lim ( (a_n)/(b_n)) = (( arctg(1/n) * (1/(ln^2(n))))/((1/(n*ln^(\alpha)(n)))$$ = 1 \in ]0,+\infty[$ se $\alpha = 2$.
Per il criterio del confronto asintotico la serie (1) ha lo stesso carattere della serie (3) $\sum_(n=2)^(+\infty) 1/(n*ln^(2)(n)$ la quale , per quanto già osservato, converge per il criterio dell'integrale.
In definitiva (1) converge.

Confermate? Grazie mille.

[Noisemaker]

si!
\begin{align}
\arctan\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\ln^2n}\sim\frac{1}{n\ln^2n}\to\mbox{converge.}
\end{align}

[Kashaman]

thank ya Noise