$\sum_{n=1}^(+oo) sqrt(n)/(n^2+1)x^n$ studio convergenza

[Pablitos23]

Studio prima la condizione necessaria per la convergenza

$lim_{n->(+oo)} sqrt(n)/(n^2+1) = 0$ dato che $deg(n^2) > deg(sqrt(n))$

Ora applico il criterio del rapporto

$lim_{n->(+oo)} sqrt(n+1)/(n^2+2+2n) * (n^2+1)/sqrt(n) = 1$
dato che i coefficienti del max grado al denominatore e numeratore ($n^2$) sono $1/1$.


Se applico il criterio della radice ho un pò di difficoltà a capirne la convergenza.

$lim_{n->(+oo)} root(n) (sqrt(n)/(n^2+1)) = $ come svolgo il limite?

[Alegomind]

$(sqrt(n)/(n^2(1+1/n^2)))^(1/n)=1/(n^(3/2)(1+1/n^2))^(1/n)=1/((n^((1/n)^(3/2))(1+1/n^2)^(1/n)))=1$

[Pablitos23]

Grazie mille!
Quindi ora ho che il mio raggio di convergenza convergerà in $R < |1|$ dato che il centro $x_0=0$.
Ed anche ai bordi $1$ e $-1$ la serie converge assolutamente, quindi $R<= |1|$.

[Alegomind]

"Paolovox":Grazie mille!
Quindi ora ho che il mio raggio di convergenza convergerà in $R < |1|$ dato che il centro $x_0=0$.
Ed anche ai bordi $1$ e $-1$ la serie converge assolutamente, quindi $R<= |1|$.

Esatto, per $x=-1$ la serie converge per il criterio di Leibniz, per $x=1$ la serie converge per il confronto asintotico con la serie armonica convergente $1/(n^(3/2))$