$\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3 (3^x-1)^n$
"Si consideri la serie $\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3 (3^x-1)^n$. Determinare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge."
E' una serie di potenze, penso che il modo migliore per risolverla è applicare il teorema di d'Alembert ma arrivo ad un punto in cui non so come andare avanti
Applico il teorema di d'Alembert: $\lim_(n->+oo)(a_(n+1))/a_n=l$.
$a_(n+1)/a_n=((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(n+1)^3)/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3)$=$((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5)) n^3)/((n+1)^3 (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)))$ a questo punto non so che fare, mi date una mano? Grazie
E' una serie di potenze, penso che il modo migliore per risolverla è applicare il teorema di d'Alembert ma arrivo ad un punto in cui non so come andare avanti
Applico il teorema di d'Alembert: $\lim_(n->+oo)(a_(n+1))/a_n=l$.
$a_(n+1)/a_n=((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(n+1)^3)/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3)$=$((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5)) n^3)/((n+1)^3 (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)))$ a questo punto non so che fare, mi date una mano? Grazie
Risposte
innanzitutto togli i cubi che tanto il loro rapporto tende ad 1 e non cambia nulla (non e' molto formale, ma poi in bella copia ce li metti 
) Poi moltiplica e dividi per il coniugato del numeratore. Ci risentiamo fra mezzora 
) Poi moltiplica e dividi per il coniugato del numeratore. Ci risentiamo fra mezzora
Ok, ora non ho tempo perchè devo andare all'uni, più tardi proverò, però non ho capito come mi libero dei cubi, cioè ho che il $\lim_(n->+oo)(n^3)/(n+1)^3=1$?
ovvio, no?! (come si fa il limite di un rapporto di polinomi?)
"Valerio Capraro":
ovvio, no?! (come si fa il limite di un rapporto di polinomi?)
Sisi, avevo scordato di mettere le parentesi nell'ultimo passaggio, quindi non mi trovavo, ora ho corretto
"Valerio Capraro":
innanzitutto togli i cubi che tanto il loro rapporto tende ad 1 e non cambia nulla (non e' molto formale, ma poi in bella copia ce li metti
Riprendendo i calcoli:
$a_(n+1)/a_n=((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(n+1)^3)/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3)$=$((sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5)) n^3)/((n+1)^3 (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)))$=$(sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))$=$(sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)) (sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))$=$2/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)) (sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5)))$ ora il numeratore è ok ma per il denominatore cosa altro posso fare?
moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del primo fattore del denominatore
che casino.. chissa' magari c'e' una maniera piu' veloce per farlo
che casino.. chissa' magari c'e' una maniera piu' veloce per farlo
Si, l'avevo pensato anche io, domani lo provo, certo che deve esserci per forza un modo più semplice, è tratto da un esame e questo è solo un quesito su 15 da fare in 2 ore... Buonanotte 
Riprendendo i calcoli:
$a_(n+1)/a_n=...=2 (sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)) (sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5)))$=$(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))$ ora rispetto a prima ho tutti valori positivi, ma è sempre una situazione di $oo/oo$ vedete una via di fuga?
$a_(n+1)/a_n=...=2 (sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/((sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5)) (sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5)))$=$(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))$ ora rispetto a prima ho tutti valori positivi, ma è sempre una situazione di $oo/oo$ vedete una via di fuga?
non scrivere tutte queste formule, che' non me le carica.. tanto 1) non le leggo 2) capisco a parole se stai facendo giusto o meno. Bene ora la forma indeterminata e' semplice: e' la stessa dei polinomi (solo con esponenti frazionari). Quindi usa lo stesso ragionamento (raccogli il grado superiore eccetera..)
Ho modificato l'ultimo messaggio per renderlo più "leggero" Però non capisco, come faccio a raccogliere il grado superiore in questa situazione: $(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))$, inolte, se riesco a farlo adesso, non potevo farlo anche prima quando avevo questa situazione: $(sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))$? Pure riscrivendo sostituendo alle radici quadrate gli esponenti frazionari non vedo come si possa raccogliere il grado superiore...
Però non capisco, come faccio a raccogliere il grado superiore in questa situazione: $(sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5))$, inolte, se riesco a farlo adesso, non potevo farlo anche prima quando avevo questa situazione: $(sqrt((n+1)^5+2)-sqrt((n+1)^5))/(sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))$? Pure riscrivendo sostituendo alle radici quadrate gli esponenti frazionari non vedo come si possa raccogliere il grado superiore...
Se sfrutti la disuguaglianze (ovvie) $ sqrt(n^5+2) > sqrt(n^5) $ e $ sqrt((n+1)^5+2) > sqrt((n+1)^5) $ puoi pervenire a quet'altra disuguaglianza
$ (2*sqrt(n^5+2))/(2*sqrt((n+1)^5)) > (sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5)) > (2*sqrt(n^5))/(2*sqrt((n+1)^5+2)) $
e per il teorema dei carabinieri è facile vedere che il limite tende a 1 ^_^
$ (2*sqrt(n^5+2))/(2*sqrt((n+1)^5)) > (sqrt(n^5+2)+sqrt(n^5))/(sqrt((n+1)^5+2)+sqrt((n+1)^5)) > (2*sqrt(n^5))/(2*sqrt((n+1)^5+2)) $
e per il teorema dei carabinieri è facile vedere che il limite tende a 1 ^_^
Capito tutto, solo una conferma, per dire che i limiti, sia quello a destra che quello a sinistra, per $n->oo$, tendono ad 1 si usa la solita regola del rapporto di polinomi?
Eccerto infatti $ (n^5+2)/((n+1)^5) = (n^5+2)/(n^5 + ...) \rightarrow 1 $
Ok grazie mille
Alla fine si ha che la serie converge per $x in I=(-oo,log_3 2]$
Il secondo quesito dello stesso esercizio chiede "Indicare, giustificando la risposta, se nei seguenti intervalli $[-5,1],(-75,+oo),(-4,-log_3 2),(-oo,27)$ la serie assegnata converge uniformemente alla sua funzione somma $f: I->RR$, definita ponendo $AA x in I : f(x)=\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3 (3^x-1)^n$ "
Devo applicare il Teorema di Abel, che, seguendo il Marcellini-Sbordone, mi dice che la serie di potenze converge uniformemente in $[s, x_0 +r]$(rispettivamente in $[x_0 -r,s]$ per ogni s in $(x_0-r, x_0 +r)$, solo che ho dei dubbi, vorrei capire se per convergere uniformemente l'intervallo considerato deve avere uno degli estremi corrispondente con gli estremi di $I$ ed in questo caso avremmo che solo $(-oo,27)$ converge uniformemente, oppure l'importante è che l'intervallo considerato sia interno ad $I$ ed in questo caso si avrebbe $(-4,-log_3 2),(-oo,27)$ convergono uniformemente.
Il secondo quesito dello stesso esercizio chiede "Indicare, giustificando la risposta, se nei seguenti intervalli $[-5,1],(-75,+oo),(-4,-log_3 2),(-oo,27)$ la serie assegnata converge uniformemente alla sua funzione somma $f: I->RR$, definita ponendo $AA x in I : f(x)=\sum_{n=1}^(+oo) (sqrt(n^5+2)-sqrt(n^5))/n^3 (3^x-1)^n$ "
Devo applicare il Teorema di Abel, che, seguendo il Marcellini-Sbordone, mi dice che la serie di potenze converge uniformemente in $[s, x_0 +r]$(rispettivamente in $[x_0 -r,s]$ per ogni s in $(x_0-r, x_0 +r)$, solo che ho dei dubbi, vorrei capire se per convergere uniformemente l'intervallo considerato deve avere uno degli estremi corrispondente con gli estremi di $I$ ed in questo caso avremmo che solo $(-oo,27)$ converge uniformemente, oppure l'importante è che l'intervallo considerato sia interno ad $I$ ed in questo caso si avrebbe $(-4,-log_3 2),(-oo,27)$ convergono uniformemente.
Ps. al di la' della soluzione. comunque elegante, di perplesso, usando disuguaglianze e via dicendo, sappi (per altri casi in cui le disuguaglianze sono meno ovvie) che anche quando hai gli esponenti frazionari puoi usare la regola del rapporto dei polinomi: raccogli l'esponente piu' grande, che in quel caso era $\frac{5}{2}$ sia a numeratore che a denominatore e vai avanti..
"Valerio Capraro":
Ps. al di la' della soluzione. comunque elegante, di perplesso, usando disuguaglianze e via dicendo, sappi (per altri casi in cui le disuguaglianze sono meno ovvie) che anche quando hai gli esponenti frazionari puoi usare la regola del rapporto dei polinomi: raccogli l'esponente piu' grande, che in quel caso era $\frac{5}{2}$ sia a numeratore che a denominatore e vai avanti..
Si, sicuramente questo metodo è più pratico e immediato
Per il secondo quesito, qualcuno mi può aiutare?
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