$\sum_{n=1}^(+oo) 1/(n^2 2^n)(x^2-2)^n$
"Si consideri la serie $\sum_{n=1}^(+oo) 1/(n^2 2^n)(x^2-2)^n$. Determinare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la serie converge."
Penso sia una serie di potenze, solo che al posto di $x^n$ c'è $(x^2-2)^n$, quindi non so come risolverlo, se fosse stato con $x^n$ lo risolverei così:
Applico il teorema di d'Alembert: $\lim_(n->+oo)(a_(n+1))/a_n=l$.
$a_(n+1)/a_n=(1/((n+1)^2 2^(n+1)))/(1/(n^2 2^n))$$=$$(n^2 2^n)/((n+1)^2 2^(n+1))$$=$$(n^2 2^n)/((n^2+1+2n)2^n 2)$$=$$1/2+(n^2)/2+n/4$
$\lim_(n->+oo)(1/2+(n^2)/2+n/4)=+oo$
Quindi $r=1/l rArr r=0 rArr$ la serie converge solo per $x=0$
A questo punto ho pensato di porre $(x^2-2)=t$ quindi alla fine avrei $t=0 rArr (x^2-2)=0$ e quindi la serie convergerebbe solo per $x= sqrt2$ e $x= -sqrt2$
Mi dite se ci sono errori e in caso contrario come andrebbe svolto? Grazie
Penso sia una serie di potenze, solo che al posto di $x^n$ c'è $(x^2-2)^n$, quindi non so come risolverlo, se fosse stato con $x^n$ lo risolverei così:
Applico il teorema di d'Alembert: $\lim_(n->+oo)(a_(n+1))/a_n=l$.
$a_(n+1)/a_n=(1/((n+1)^2 2^(n+1)))/(1/(n^2 2^n))$$=$$(n^2 2^n)/((n+1)^2 2^(n+1))$$=$$(n^2 2^n)/((n^2+1+2n)2^n 2)$$=$$1/2+(n^2)/2+n/4$
$\lim_(n->+oo)(1/2+(n^2)/2+n/4)=+oo$
Quindi $r=1/l rArr r=0 rArr$ la serie converge solo per $x=0$
A questo punto ho pensato di porre $(x^2-2)=t$ quindi alla fine avrei $t=0 rArr (x^2-2)=0$ e quindi la serie convergerebbe solo per $x= sqrt2$ e $x= -sqrt2$
Mi dite se ci sono errori e in caso contrario come andrebbe svolto? Grazie
Risposte
Fai attenzione che hai fatto un errore all'ultimo passaggio di $lim_n a_(n+1)/a_n$, dopo che hai trovato il raggio di convergenza r giusto, sai che il dominio di convergenza è $|x^2-2|
Edit: mi ero sbagliato
io il raggio di convergenza lo avrei trovato con l'altro criterio, quello della radice (o di Cauchy-Hadamard), è più facile secondo me: $lim_(n->+oo)root(n)(1/(n^(2)2^n))=1/2 => \rho=2$
"bradipo90":
Fai attenzione che hai fatto un errore all'ultimo passaggio di $lim_n a_(n+1)/a_n$
Si in effetti ho fatto un sciocchezza
solo che ora non so come potrei risolvere il $lim_(n->+oo)(n^2)/(n^2+1+2n)2$"ubermensch":
confronto asintotico?
A occhio direi che va come $\sum\frac{1}{n^2}$ e quindi converge per ogni $x$, ma magari mi sbaglio...
"ubermensch":Prima di uscire di casa stavo impazzendo cercando di capire cosa volevi
Edit: mi ero sbagliato
"Lorin":mmm non ci avevo pensato, domani lo provo
io il raggio di convergenza lo avrei trovato con l'altro criterio, quello della radice (o di Cauchy-Hadamard), è più facile secondo me: $lim_(n->+oo)root(n)(1/(n^(2)2^n))=1/2 => \rho=2$
"Lorin":
io il raggio di convergenza lo avrei trovato con l'altro criterio, quello della radice (o di Cauchy-Hadamard), è più facile secondo me: $lim_(n->+oo)root(n)(1/(n^(2)2^n))=1/2 => \rho=2$
Perfetto!!
Sempre per questo esercizo, al punto successivo vi è questa richiesta: "Sia $f:I->RR$, definita ponendo $AA x in I:f(x)=\sum_{n=1}^(+oo) 1/(n^2 2^n)(x^2-2)^n$, la funzione somma della serie assegnata, determinare $f'(x)$ "
Con $f(x)=\sum_{n=0}^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ si ha che $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) na_n(x-x_0)^(n-1)$, quindi per questo esercizio si ha $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) n/(n^2 2^n)(x^2-2)^(n-1)=\sum_{n=1}^(+oo) 1/(n 2^n)(x^2-2)^(n-1)$ mi dite se è giusto o se devo fare qualche altro passaggio? Grazie
Con $f(x)=\sum_{n=0}^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ si ha che $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) na_n(x-x_0)^(n-1)$, quindi per questo esercizio si ha $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) n/(n^2 2^n)(x^2-2)^(n-1)=\sum_{n=1}^(+oo) 1/(n 2^n)(x^2-2)^(n-1)$ mi dite se è giusto o se devo fare qualche altro passaggio? Grazie
ci manca la derivata di $(x^2-2)$
"Lorin":
ci manca la derivata di $(x^2-2)$
Cioè devo moltiplicare per la derivata di $(x^2-2)$? Quindi verrebbe: $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) n/(n^2 2^n)(x^2-2)^(n-1) 2n=\sum_{n=1}^(+oo) 1/(2^(n-1))(x^2-2)^(n-1)$ ?
$d/(dx)(x^2-2)=2x$
"Lorin":
$d/(dx)(x^2-2)=2x$
Scusami ovviamente hai ragione
Quindi viene: $f'(x)=\sum_{n=1}^(+oo) n/(n^2 2^n)(x^2-2)^(n-1) 2x$=$sum_{n=1}^(+oo) x/(n 2^(n-1))(x^2-2)^(n-1)$ ?
Si
Grazie
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