$\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n^{2}i)(z^{3}+i)^{n}$

[poncelet]

Allora la serie è quella del titolo:
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n^{2}i)(z^{3}+i)^{n}
\]

Devo studiarne la convergenza. Io avrei fatto così:
poniamo $w=z^{3}+i$ ed otteniamo la seriue di potenze \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n^{2}i)w^{n}}\). Per determinare il raggio di convergenza esprimo il coseno complesso tramite l'esponenziale:
\[
\cos(n^{2}i)=\frac{e^{-n^{2}}-e^{n^2}}{2}
\]

e poi utilizzo il criterio del rapporto
\[
\lim_{n \to \infty}\frac{e^{-(n+1)^{2}}-e^{(n+1)^2}}{2} \cdot \frac{2}{e^{-n^{2}}-e^{n^2}}=\lim_{n \to \infty}\frac{e^{-(n+1)^{2}}-e^{(n+1)^2}}{e^{-n^{2}}-e^{n^2}}=+\infty
\]

e di conseguenza il raggio di convergenza è $R=0$. Tornando alla serie originaria ho che essa converge soltanto nei punti che soddisfano \(|z^{3}+i|=0 \implies z^{3}+i=0 \implies z^{3}=-i \implies\) $\{(z_0=e^{-\frac{\pi}{6}i}),(z_1=i),(z_2=e^{\frac{7}{6}\pi i}):}$

E' giusto il procedimento?

[Paolo902]

Tutto giusto, Max.

Comunque, per il calcolo del raggio potevi usare anche la formula di Cauchy-Hadamard, quella con la radice ennesima per intenderci. Forse risparmiavi qualche conto, ma ovviamente la sostanza è la stessa.

Bene anche le radici cubiche di $-i$.