$\sum_{n=1}^infty sen(n\pi+ 1/n^alpha)$

[marina091]

ho questa serie: $\sum_{n=1}^infty sen(n\pi+ 1/n^alpha)$, notando che $n\pi$ è equivaelente a $(-1)^n$

posso scrivere che quella serie è equivalente a $1/n^alpha$ e quindi converge se $alpha > 1$ ? Se no come va risolta?

[gugo82]

Suggerirei di sfruttare la periodicità del seno.

EDIT: Ah, no... ora ho capito cosa vuoi dire. Per periodicità l'addendo diviene $(-1)^n sin(1/n^alpha)$ e ciò è giusto. A questo punto sfrutti il teorema di Leibniz per le serie a segni alterni.

[killing_buddha]

Sfrutta il fatto che
$a_n=\sin(n\pi + \frac{1}{n^\alpha})=\cos(n\pi)\sin(n^{-\alpha}) + \cos(n^{-\alpha})\sin(n\pi)$
che si riduce ad essere
$\cos(n\pi)\sin(n^{-\alpha}) = (-1)^n \sin(n^{-\alpha})$

è molto più facile studiarla ora (Leibniz).

[marina091]

e la funzione $sen(1/n^alpha)$ è decrescente? come faccio a verificarlo?

[gugo82]

E dai, un po' d'inventiva!

Il $sin y$ è strettamente crescente in $[0,pi/2]$; la successione $n^alpha$ ($alpha>0$) è strettamente crescente e divergente, cosicché $1/n^alpha$ è strettamente descrescente e definitivamente appartenente a $[0,pi/2]$; la funzione composta da $sin y$ e da $1/n^alpha$ ha perciò la componente esterna str. crescente e quella interna str. decrescente.
Traine le ovvie conseguenze.