$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n!}}{n}$; $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n!)}{n^2}$

[pincopallino042]

Ciao a tutti,
come da titolo mi sono imbattuto nelle due serie numeriche
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n!}}{n}; \qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n!)}{n^2}
\]
ma sono un po' incerto sulla legittimità dei miei ragionamenti.

Per la prima serie, pensavo che si trattasse di una serie a segni alterni, ma dato che $n!$ risulterà sempre in un numero $\geq 0$, risulta:
\[
a_n = \frac{(-1)^{n!}}{n} = \frac{1}{n}
\]
la cui serie diverge. Se questo ragionamento è giusto, non so come formalizzarlo ancor di più.

Per la seconda, invece, si nota che la serie non è a termini non negativi. Infatti:
\[
\sin (3!) \approx -0{,}28 \qquad \text{(ed altri tanti termini)}
\]
dunque non posso applicare il criterio del confronto. E qui mi sono arenato.

Qualche dritta?

[Mephlip]

Il primo ragionamento è sbagliato. Il fatto che \(n! \ge 0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\) non implica che \((-1)^{n!}=1\) (controesempio: \(1 \ge 0 \)) e \((-1)^{1!}=(-1)^1=-1\). Dimostra che per ogni \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}\) hai che \(n!\) è un numero pari.

Per la seconda serie: prova con la convergenza assoluta.

[pincopallino042]

"Mephlip":Al più, dimostra che per ogni \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}\) hai che \(n!\) è sempre pari.

Prima definisco il fattoriale come
\[
n! = \prod_{m=1}^n m = 1 \times 2 \times \dots \times n
\]
Poi definisco un "prodotto parziale" $p$ definito come
\[
p(n) = \prod_{m=3}^{n} m = 3 \times 4 \times \dots \times n
\]
ridefinisco $n!$ ma stavolta in relazione con $p(n)$:
\[
n! = p(n) \times 2.
\]
tutto questo per dire che per ogni \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}\), il "prodotto parziale" $p(n)$ verrà sempre moltiplicato per 2, ed ogni multiplo di 2 è pari.

"Mephlip":
Il fatto che n!≥0 per ogni n∈N non implica che (−1)n!=1 (controesempio: 1≥0)

My bad.

Da quanto ho ottenuto finora posso però affermare che, per \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}\), $(−1)^{n!} = 1$, dunque la condizione viene rispettata definitivamente.

Per la serie
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n!)}{n^2}
\]
risulta invece:
\[
\left| \frac{\sin (n!)}{n^2} \right| \leq \frac{1}{n^2}
\]
dunque la serie in esame converge.

EDIT: ACHTUNG! ACHTUNG! Il "prodotto parziale" è pari a $1$ per $n = 2$!!