$\sum _ n ( x/2)^n n^5$
Salve ragazzi, ho ancora qualche difficoltà riguardanti lo studio del carattere delle serie dipendenti da qualche parametro. Passiamo a noi , ho la seguente serie :
$\sum _ n ( x/2)^n n^5$ (1)
Mi si chiede di stabilire per quali $x \in RR$ la serie converge e per quali $x$ la serie diverge positivamente.
Innanzi tutto notiamo che il segno di (1) dipende da $x$, pertanto mi conviene studiare dapprima l'assoluta convergenza.
Considero dunque la serie dei valori assoluti $\sum _ n ( |x|/2)^n n^5$ (2).
A questo punto, considero $\root(n) (( |x|/2)^n n^5) = |x|/2 \root(n)(n^5) -> |x|/2$.
Per il criterio della radice se $|x|/2 < 1 $ cioé $x \in ]-2.2[$ (2) converge, quindi (1) converge assolutamente il che vuol dire che (1) converge.
Se invece $|x| > 2$ la (2) diverge positivamente e quindi (1) diverge assolutamente.
Quello che posso dire è di certo che (1) non converge.
se $x>2$ la serie non ha misteri, è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente e poiché la successione di supporto non è infinitesima, ne deduco che (1) non converge e quindi diverge positivamente.
Se $x=2$ , banalmente la serie (1) diverge.
I punti oscuri sono per $x<=-2$, dubito che ci siano strumenti alla mia portata per stabilirne l'irregolarità / divergenza.
Se $x=-2$ la mia serie diventa $\sum ( -1)^n n^5$ (1), sui pari diverge positivamente, sui dispari negativamente , ho dunque una forma del tipo $ +\infty - \infty$ che non mi permette di dir molto sulla vera natura di (1).
Per $x < -2 $ procederei come fatto per $x=-2$ , fossilizzandomi sullo stesso problema.
Come ne esco?
Grazie mille ragazzi.
PS : Il come ne esco non è una richiesta di risoluzione, piuttosto la richiesta di un piccolo hint.
$\sum _ n ( x/2)^n n^5$ (1)
Mi si chiede di stabilire per quali $x \in RR$ la serie converge e per quali $x$ la serie diverge positivamente.
Innanzi tutto notiamo che il segno di (1) dipende da $x$, pertanto mi conviene studiare dapprima l'assoluta convergenza.
Considero dunque la serie dei valori assoluti $\sum _ n ( |x|/2)^n n^5$ (2).
A questo punto, considero $\root(n) (( |x|/2)^n n^5) = |x|/2 \root(n)(n^5) -> |x|/2$.
Per il criterio della radice se $|x|/2 < 1 $ cioé $x \in ]-2.2[$ (2) converge, quindi (1) converge assolutamente il che vuol dire che (1) converge.
Se invece $|x| > 2$ la (2) diverge positivamente e quindi (1) diverge assolutamente.
Quello che posso dire è di certo che (1) non converge.
se $x>2$ la serie non ha misteri, è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente e poiché la successione di supporto non è infinitesima, ne deduco che (1) non converge e quindi diverge positivamente.
Se $x=2$ , banalmente la serie (1) diverge.
I punti oscuri sono per $x<=-2$, dubito che ci siano strumenti alla mia portata per stabilirne l'irregolarità / divergenza.
Se $x=-2$ la mia serie diventa $\sum ( -1)^n n^5$ (1), sui pari diverge positivamente, sui dispari negativamente , ho dunque una forma del tipo $ +\infty - \infty$ che non mi permette di dir molto sulla vera natura di (1).
Per $x < -2 $ procederei come fatto per $x=-2$ , fossilizzandomi sullo stesso problema.
Come ne esco?
Grazie mille ragazzi.
PS : Il come ne esco non è una richiesta di risoluzione, piuttosto la richiesta di un piccolo hint.
Risposte
Che carattere ha una serie a termini di segno alterno il cui termine generale,preso in valore assoluto,
sia quello d'una successione numerica non decrescente?
Certo non converge,perchè $EElim_(n to oo)|a_n| ne 0$:
può divergere,positivamente o negativamente?
E perchè
?
Saluti dal web.
sia quello d'una successione numerica non decrescente?
Certo non converge,perchè $EElim_(n to oo)|a_n| ne 0$:
può divergere,positivamente o negativamente?
E perchè
?Saluti dal web.
"theras":
Che carattere ha una serie a termini di segno alterno il cui termine generale,preso in valore assoluto,
sia quello d'una successione numerica non decrescente?
Irregolare. La situazione dovrebbe essere più chiara così: se $x<-2$, la successione delle somme parziali dei pari, i.e.
\[S_{2n}:=a_0+a_2+\cdots+a_{2n}=\sum_{i=0}^{n}\left(\dfrac{|x|}{2}\right)^{2i} (2i)^5\]
diverge positivamente (non essendo $|x|/2$ una frazione propria) mentre
\[S_{2n+1}:=a_1+a_3+\cdots+a_{2n+1}=\sum_{i=0}^{n}-\left(\dfrac{|x|}{2}\right)^{2i+1} (2i+1)^5\]
diverge negativamente. Dico bene?
E mi sa di si,Giuseppe 
!
Anzi,addirittura,dalla somma tra il tuo intervento e quello mio precedente se ne deduce qualcosa di carattere generale,
in merito al carattere delle serie a termini di segno alterno in cui sia non decrescente la successione del valore assoluto del termine generale:
a Giuseppe l'onore e l'onere di scriverlo e,se vuole,formalizzarlo per benino?
Saluti dal web.
!Anzi,addirittura,dalla somma tra il tuo intervento e quello mio precedente se ne deduce qualcosa di carattere generale,
in merito al carattere delle serie a termini di segno alterno in cui sia non decrescente la successione del valore assoluto del termine generale:
a Giuseppe l'onore e l'onere di scriverlo e,se vuole,formalizzarlo per benino?
Saluti dal web.
Mmm...se per "serie a segno alterno" intendiamo una serie di tipo
\[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n \tag{S}\]
con $a_n\ge 0$, allora non trovo nulla da aggiungere a quel che si è detto su
il discorso è identico: dal momento che $a_n$ (quella che nelle notazioni precedenti era $|a_n|$) non decresce ed è non negativa, non può di certo convergere a zero. Segue che le successioni pari e dispari delle somme parziali, ovvero
\[S_{2n}:=\sum^{n}_{i=0}a_{2i}>0\qquad S_{2n+1}:=\sum^{n}_{i=0}-a_{2i+1}<0\]
divergono, l'una positivamente e l'altra negativamente: la $"(S)"$ è irregolare.
Altrimenti, se chiamiamo "serie a segno alterno" anche robe tipo $\sum \sin n$, suppongo ci sarebbe da fare un discorso un po' più "raffinato". Ci rifletto
\[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n \tag{S}\]
con $a_n\ge 0$, allora non trovo nulla da aggiungere a quel che si è detto su
il discorso è identico: dal momento che $a_n$ (quella che nelle notazioni precedenti era $|a_n|$) non decresce ed è non negativa, non può di certo convergere a zero. Segue che le successioni pari e dispari delle somme parziali, ovvero\[S_{2n}:=\sum^{n}_{i=0}a_{2i}>0\qquad S_{2n+1}:=\sum^{n}_{i=0}-a_{2i+1}<0\]
divergono, l'una positivamente e l'altra negativamente: la $"(S)"$ è irregolare.
Altrimenti, se chiamiamo "serie a segno alterno" anche robe tipo $\sum \sin n$, suppongo ci sarebbe da fare un discorso un po' più "raffinato". Ci rifletto
Salve ragazzi , vi ringrazio per le risposte.
Cerco di riassumere un poco io. Anche perché credo che tu abbia saltato un caso peppe.
Teoremino
Sia ${a_n}$ una successione non decrescente . $a_n >= 0$
Sia (1) $\sum _ n (-1)^n a_n$ la serie a segni alterni ad essa associata.
Se (1) diverge assolutamente $=> $ (1) è irregolare.
Premetto il seguente :
Lemma 1
Se $|a_n | -> +\infty => a_n$ non è infinitesima.
dim lemma
Supponiamo per assurdo che $a_n -> 0$ .
Per ipotesi $|a_n| -> + \infty$ , quindi fissato $\epsilon > 0$ si ha che $EE \nu _1 \in NN , AA n >= \nu : |a_n | > \epsilon$ (1)
In corrispondenza di tale $\epsilon$ , $ EE \nu_2 , AA n >= \nu _ 2 |a_n | < \epsilon$ (2). Posto $ \nu = max { \nu_1 , \nu_ 2}$
si ha che valgono contemporaneamente (1) e (2). Assurdo.
dim teoremino
Per il lemma, ciò che possiamo affermare con sicurezza è che $a_n$ non è infinitesima. Quindi la serie $(1)$ di sicuro non converge. Cerco di provare , che sotto queste ipotesi, la serie è irregolare.
Per ipotesi $a_n$ è non decrescente, quindi può esser costante, crescente oppure oscillante.
caso 1 : ${a_n}$ costante
supponiamo che $a_n$ sia costante , ciò vuol dire che $AA n \in N : a_n = k \in RR$.
Considero le somme parziali della serie $s_n = k-k+k-k+k-k+...............+(-1)^n k$.
Si verifica facilmente che $s_(2n ) -> 0$ e $s_(2n+1) -> k $. Da qui deduciamo che la nostra serie è irregolare.
caso 2 : la successione è non costante
In tal caso $s_n = a_0+(-1)a_1+....+(-1)^n a_n$ .
Sui pari ho che $s_n = \sum _ (i=0)^n a_(2i)$ , sui dispari invece $s_(2n) =- \sum _ (i=0)^n a_(2i+1)$.
Ma quelle somme non sono altro che le estratte sui pari e dispari della successione delle somme parziali della serie dei valori assoluti. Per ipotesi la serie diverge assolutamente e quindi $s_(2n) -> + \infty$ , $ s_(2n+1) -> -\infty$. Ne segue che la serie è irregolare.
Confermate la veridicità di quello che dico?
Cerco di riassumere un poco io. Anche perché credo che tu abbia saltato un caso peppe.
Teoremino
Sia ${a_n}$ una successione non decrescente . $a_n >= 0$
Sia (1) $\sum _ n (-1)^n a_n$ la serie a segni alterni ad essa associata.
Se (1) diverge assolutamente $=> $ (1) è irregolare.
Premetto il seguente :
Lemma 1
Se $|a_n | -> +\infty => a_n$ non è infinitesima.
dim lemma
Supponiamo per assurdo che $a_n -> 0$ .
Per ipotesi $|a_n| -> + \infty$ , quindi fissato $\epsilon > 0$ si ha che $EE \nu _1 \in NN , AA n >= \nu : |a_n | > \epsilon$ (1)
In corrispondenza di tale $\epsilon$ , $ EE \nu_2 , AA n >= \nu _ 2 |a_n | < \epsilon$ (2). Posto $ \nu = max { \nu_1 , \nu_ 2}$
si ha che valgono contemporaneamente (1) e (2). Assurdo.
dim teoremino
Per il lemma, ciò che possiamo affermare con sicurezza è che $a_n$ non è infinitesima. Quindi la serie $(1)$ di sicuro non converge. Cerco di provare , che sotto queste ipotesi, la serie è irregolare.
Per ipotesi $a_n$ è non decrescente, quindi può esser costante, crescente oppure oscillante.
caso 1 : ${a_n}$ costante
supponiamo che $a_n$ sia costante , ciò vuol dire che $AA n \in N : a_n = k \in RR$.
Considero le somme parziali della serie $s_n = k-k+k-k+k-k+...............+(-1)^n k$.
Si verifica facilmente che $s_(2n ) -> 0$ e $s_(2n+1) -> k $. Da qui deduciamo che la nostra serie è irregolare.
caso 2 : la successione è non costante
In tal caso $s_n = a_0+(-1)a_1+....+(-1)^n a_n$ .
Sui pari ho che $s_n = \sum _ (i=0)^n a_(2i)$ , sui dispari invece $s_(2n) =- \sum _ (i=0)^n a_(2i+1)$.
Ma quelle somme non sono altro che le estratte sui pari e dispari della successione delle somme parziali della serie dei valori assoluti. Per ipotesi la serie diverge assolutamente e quindi $s_(2n) -> + \infty$ , $ s_(2n+1) -> -\infty$. Ne segue che la serie è irregolare.
Confermate la veridicità di quello che dico?
"Kashaman":
In tal caso $s_n = a_0+(-1)a_1+....+(-1)^n a_n$ .
Sui pari ho che $s_n = \sum _ (i=0)^n a_(2i)$ , sui dispari invece $s_(2n) =- \sum _ (i=0)^n a_(2i+1)$.
La notazione ci ha tratti in inganno, abbiamo scritto cagate
\[S_{2n}\ne \sum^n_i a_{2i}\qquad \qquad S_{2n}=\sum_{i}^{2n}a_i\]
Ahahah...ci penso meglio!
beh in effetti, la dimostrazione cade. Pensiamoci meglio, il problema non sembra semplice.. ci stiamo perdendo qualcosa
Un altro piccolo problema, mi sa che i parametri mi mettono in crisi!
Devo dire per quali $\alpha \in RR$ la serie
(1) $\sum _ ( i=1) ^(+\infty) ( n ^ (2\alpha) / ( n^8+1))$ converge.
Io ragionerei così .
Innanzi tutto notiamo che la serie è a termini positivi, quindi o converge oppure diverge.
A questo punto considero e applico il criterio degli infinitesimi :
$lim (n^(\beta) n^(2*\alpha))/(n^8+1) = L$ se $\beta = 8-2\alpha$ si ha $L=1$.
Ora se $\beta < 1$ , cioé $\alpha > 7/2$ si ha $L=+\infty$ e quindi la serie diverge positivamente.
Se $\beta > 1 $, cioè $\alpha < 7/2$ si ha $L=0$ e quindi la serie converge.
è giusto? O sto dicendo fregnacce? Grazie mille.
Devo dire per quali $\alpha \in RR$ la serie
(1) $\sum _ ( i=1) ^(+\infty) ( n ^ (2\alpha) / ( n^8+1))$ converge.
Io ragionerei così .
Innanzi tutto notiamo che la serie è a termini positivi, quindi o converge oppure diverge.
A questo punto considero e applico il criterio degli infinitesimi :
$lim (n^(\beta) n^(2*\alpha))/(n^8+1) = L$ se $\beta = 8-2\alpha$ si ha $L=1$.
Ora se $\beta < 1$ , cioé $\alpha > 7/2$ si ha $L=+\infty$ e quindi la serie diverge positivamente.
Se $\beta > 1 $, cioè $\alpha < 7/2$ si ha $L=0$ e quindi la serie converge.
è giusto? O sto dicendo fregnacce? Grazie mille.
"Kashaman":
Innanzi tutto notiamo che la serie è a termini positivi, quindi o converge oppure diverge.
A questo punto considero e applico il criterio degli infinitesimi :
$lim (n^(\beta) n^(2*\alpha))/(n^8+1) = L$ se $\beta = 8-2\alpha$ si ha $L=1$.
Col risultato mi trovo, ma arrivati a questo punto farei così: la serie data - battezziamola $(1)$ - ha lo stesso carattere della serie - che diremo $(2)$ -
\[\sum_n^{\infty}\dfrac{1}{n^{8-2\alpha}}\]
dunque
\[(1)\ \text{converge}\iff (2)\ \text{converge} \iff 8-2\alpha >1\iff \alpha<7/2\]
e di conseguenza $(1)$ diverge ssse $\alpha \ge 7/2$.
Ragionare coi limiti mi secca
Comunque, come ho ragionato ti sembra corretto?
Non riesco a capire una cosa però, come fai a dire che (1) ha lo stesso carattere di (2)?
Non riesco a capire una cosa però, come fai a dire che (1) ha lo stesso carattere di (2)?
Mi sembra proprio di sì.
Il criterio del confronto asintotico "vero è proprio" (o quantomeno quello che trovo sui libri e che abbiamo visto noi nel corso di teoria) dice questo:
Siano date le serie a termini positivi (1) $\sum a_n$ e (2) $\sum b_n$ e supponiamo che $a_n/b_n\to L\in (0,+\infty)$. Allora la (1) e la (2) hanno lo stesso carattere.
Il criterio che hai utilizzato tu è una sorta di estensione di questo (ai casi $L=0$ e $L=+\infty$), che tiene conto anche delle proprietà della serie armonica generalizzata (lo trovi qui a pagina 11 e pagina 14).
"Kashaman":
Non riesco a capire una cosa però, come fai a dire che (1) ha lo stesso carattere di (2)?
Il criterio del confronto asintotico "vero è proprio" (o quantomeno quello che trovo sui libri e che abbiamo visto noi nel corso di teoria) dice questo:
Siano date le serie a termini positivi (1) $\sum a_n$ e (2) $\sum b_n$ e supponiamo che $a_n/b_n\to L\in (0,+\infty)$. Allora la (1) e la (2) hanno lo stesso carattere.
Il criterio che hai utilizzato tu è una sorta di estensione di questo (ai casi $L=0$ e $L=+\infty$), che tiene conto anche delle proprietà della serie armonica generalizzata (lo trovi qui a pagina 11 e pagina 14).
grazie beppe.
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