$sum_(n = 1)^(+infty)sin(1/(n^alpha+n^(2alpha)+n^(nalpha)))$
Salve chiedo umilmente aiuto per una serie numerica che non inquadro bene. Si tratta di capire la convergenza per i giusti $alpha in RR$:
$ sum_(n = 1)^(+infty) sin(1/(n^alpha+n^(2alpha)+n^(nalpha))) $
Il limite della successione è infinitesimo per $alpha>0$, la successione è limitata, studiando con i vari criteri della radice del rapporto non ottengo nulla ,perchè valgono tutti 1.
Quantitativamente suppongo che la serie converga per $alpha>0$, perchè per n grande il seno si comporterebbe come il suo argomento, che confrontato con la serie armonica generalizzata convergerebbe, ma non sono sicuro di questa strada,
confido in qualcuno più certo
$ sum_(n = 1)^(+infty) sin(1/(n^alpha+n^(2alpha)+n^(nalpha))) $
Il limite della successione è infinitesimo per $alpha>0$, la successione è limitata, studiando con i vari criteri della radice del rapporto non ottengo nulla ,perchè valgono tutti 1.
Quantitativamente suppongo che la serie converga per $alpha>0$, perchè per n grande il seno si comporterebbe come il suo argomento, che confrontato con la serie armonica generalizzata convergerebbe, ma non sono sicuro di questa strada,
confido in qualcuno più certo
Risposte
Il termine generale della successione si comporta come $a_n\sim\sin\frac{1}{n^{n\alpha}}\sim\frac{1}{n^{n\alpha}}$ quando $\alpha>0$, per cui con il criterio della radice dovresti risolvere facilmente.
Provo a dire la mia, senza pretese.
Io guarderei soprattutto se e come la frazione va a zero, perchè negli altri casi, essendoci di mezzo il seno tutto si complica molto.
Per cui possimo dire:
$\lim_{q \to +oo}\ \sin(1/q) \approx 1/q$
A questo punto mi sembra che tutto si giochi su $n^{n\alpha}$ e cioè se $\alpha >0 $ oppure no.
Se $\alpha>0 $ allora $n\alpha \to +oo$ altrimenti la frazione va a $+oo$
Io guarderei soprattutto se e come la frazione va a zero, perchè negli altri casi, essendoci di mezzo il seno tutto si complica molto.
Per cui possimo dire:
$\lim_{q \to +oo}\ \sin(1/q) \approx 1/q$
A questo punto mi sembra che tutto si giochi su $n^{n\alpha}$ e cioè se $\alpha >0 $ oppure no.
Se $\alpha>0 $ allora $n\alpha \to +oo$ altrimenti la frazione va a $+oo$
Chiaro adesso!Grazie mille. Ciao
Approfitto per chiedere una questione banale, spesso il mio professore alla fine di un studio di funzione con grafico di una $f(x)$, mi chiede di dedurne dal preccedente il grafico di $sinf(x)$, come se non fossero necessario rifare i calcoli ,qualcuno mi può dire come è intubile questa cosa?
Grazie ciao
Grazie ciao
Ovvio che non hai bisogno di rifare i calcoli. Se consideri la funzione $g(x)=\sin[f(x)]$ dal momento che la funzione seno è definita ovunque, si ha $D(g)=D(f)$ (per il dominio). Poiché la funzione seno è continua, per ogni $x_0\inD(f)'$ punto di accumulazione si avrà pure[tex]$\lim_{x\to x_0} g(x)=\sin\left[\lim_{x\to x_0} f(x)\right]$[/tex].
Infine per la derivata prima $g'(x)=\cos(f(x))\cdot f'(x)$, pertanto sapendo dove si annullano $f,\ f'$ si determinano i massimi e i minimi. Inoltre, dalla definizione di funzione seno, si ha pure $|g(x)|\le 1$, per cui quando andrai a disegnare il grafico di $g$ non dovrai mai uscire dalla striscia orizzontale delimitata dalle rette $y=\pm 1$.
P.S.: queste sono le tipiche cose che io chiederei ad un esame per verificare se si è veramente compreso un concetto o ci si ragiona solo meccanicamente! Aspetta un attimo... io le chiedo ste cose! Ecco perché boccio i 4/5 degli studenti!
Infine per la derivata prima $g'(x)=\cos(f(x))\cdot f'(x)$, pertanto sapendo dove si annullano $f,\ f'$ si determinano i massimi e i minimi. Inoltre, dalla definizione di funzione seno, si ha pure $|g(x)|\le 1$, per cui quando andrai a disegnare il grafico di $g$ non dovrai mai uscire dalla striscia orizzontale delimitata dalle rette $y=\pm 1$.
P.S.: queste sono le tipiche cose che io chiederei ad un esame per verificare se si è veramente compreso un concetto o ci si ragiona solo meccanicamente! Aspetta un attimo... io le chiedo ste cose! Ecco perché boccio i 4/5 degli studenti!
"puretone":
Approfitto per chiedere una questione banale, spesso il mio professore alla fine di un studio di funzione con grafico di una $f(x)$, mi chiede di dedurne dal preccedente il grafico di $sinf(x)$, come se non fossero necessario rifare i calcoli ,qualcuno mi può dire come è intubile questa cosa?
Grazie ciao
Mi "accodo" a ciampax.
Beh, banalmente, intanto diciamo che quello che andrai a disegnare sarà una cosa che oscilla tra -1 e 1 !!!
Insomma, sembra buffo, però intanto abbiamo limitato i danni !
Poi cosa si può dire ? Che se la funzione $f(x)$ è monotona, allora il seno di $f(x)$ oscilla "regolarmente" e il periodo delle oscillazioni è inversamente proporzionale alla derivata $f\ '(x)$. Il perchè dovresti capirlo da te...
Se è invece la $f(x)$ ad oscillare attorno ad un valore con oscillazioni limitate (di quanto?), allora non si sa bene cosa fa il seno. Va su e giu', però così ad occhio non si può dire molto sul suo grafico.
Per cui, morale della storia, $f(x)$ che cresce o cala rapidamente, hai il seno che oscilla velocemente (rispetto ad x, ovvio), oppure vale il viceversa.
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