$\sum f_n (x)$ serie di funzione..dubbi risoluzione
Ciao a tutti, mi sono ritrovato tra le mani questo esercizio di una serie di funzione.. però non ho la soluzione e vorrei capire se ho fatto giusto.
Data la serie di funzione $ \sum_(n=1)^(+\infty) (x^(n^2))/(e^(nx)) $ $\forall x\in RR$
Si stabilisca la convergenza puntuale, uniforme e assoluta
allora ho pensato di fare così
applico il criterio della radice a $ f_n(x)=(x^(n^2))/(e^(nx)) $
$ \lim_(n\to +\infty) root(n)((x^(n^2)) / (e^(nx)))= (x^n)/(e^x) $ che $ (x^n)/(e^x) \text{converge solo quando } |x^n|<1 $
quindi si ha che $ \forall x\in (-1,1), f_n(x) \leq (1)/(e^(nx)) $
e quindi $ \sum_(n=1)^(+\infty) (1)/(e^(nx))=\sum_(n=1)^(+\infty)((1)/(e^x))^n $
CONVERGE PUNTUALMENTE $ \forall x\in (-1,1) $
ORA per la convergenza uniforme sia $ \lambda \in (0,1) $ e quindi $ J=(-\lambda,\lambda) $
$ \text{sup}_(x\in J) |(x^(n^2))/(e^(nx))|=(\lambda^(n^2))/(e^(n\lambda)) $
se applico lo stesso criterio della radice di prima.. si ha convergenza uniforme $ \forall \lambda \in (0,1) $
QUINDI..VI è convergenza puntuale e uniforme $ \forall x\in (-1,1) $
Data la serie di funzione $ \sum_(n=1)^(+\infty) (x^(n^2))/(e^(nx)) $ $\forall x\in RR$
Si stabilisca la convergenza puntuale, uniforme e assoluta
allora ho pensato di fare così
applico il criterio della radice a $ f_n(x)=(x^(n^2))/(e^(nx)) $
$ \lim_(n\to +\infty) root(n)((x^(n^2)) / (e^(nx)))= (x^n)/(e^x) $ che $ (x^n)/(e^x) \text{converge solo quando } |x^n|<1 $
quindi si ha che $ \forall x\in (-1,1), f_n(x) \leq (1)/(e^(nx)) $
e quindi $ \sum_(n=1)^(+\infty) (1)/(e^(nx))=\sum_(n=1)^(+\infty)((1)/(e^x))^n $
CONVERGE PUNTUALMENTE $ \forall x\in (-1,1) $
ORA per la convergenza uniforme sia $ \lambda \in (0,1) $ e quindi $ J=(-\lambda,\lambda) $
$ \text{sup}_(x\in J) |(x^(n^2))/(e^(nx))|=(\lambda^(n^2))/(e^(n\lambda)) $
se applico lo stesso criterio della radice di prima.. si ha convergenza uniforme $ \forall \lambda \in (0,1) $
QUINDI..VI è convergenza puntuale e uniforme $ \forall x\in (-1,1) $
Risposte
EDIT: corretto un errore su indicazione dell'OP.
C'è convergenza puntuale anche per \(x=1\).
Osserva, inoltre, che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{1}{e^n}\qquad \forall x\in [0,1],
\]
mentre, se \(a\in (0,1)\), si ha
\[
\sqrt{|f_n(x)|} \leq a^n e^a =: c_n \qquad \forall x\in [-a, 0],
\]
quindi la convergenza è uniforme in \([-a, 1]\).
C'è convergenza puntuale anche per \(x=1\).
Osserva, inoltre, che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{1}{e^n}\qquad \forall x\in [0,1],
\]
mentre, se \(a\in (0,1)\), si ha
\[
\sqrt{|f_n(x)|} \leq a^n e^a =: c_n \qquad \forall x\in [-a, 0],
\]
quindi la convergenza è uniforme in \([-a, 1]\).
"Rigel":
C'è convergenza puntuale anche per \(x=\pm 1\).
Osserva, inoltre, che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{1}{e^n}\qquad \forall x\in [-1,1],
\]
quindi la convergenza è uniforme in \([-1, 1]\).
hai applicato il criterio della convergenza totale?..
Comunque avevo lasciato fuori $x=-1$ poiché $ \sum_(n=1)^(+\infty)f_n(-1)= \sum_(n=1)^(+\infty) ((-1)^(n^2))/(e^(-n))=\sum_(n=1)^(+\infty) (-1)^(n^2)e^(n) $
e quindi.. questa serie $\sum_(n=1)^(+\infty) (-1)^(n^2)e^(n)$ non converge..
Come fai a dire che vi è convergenza uniforme in $I=[-1,1]$ ?.. è per capire..almeno la prossima volta non faccio lo stesso errore..
Scusa, ho toppato io 
Ah ok.. ho letto!
quindi possiamo ricapitolare il tutto.. convergenza puntuale $ \forall x \in [0,1] $
mentre vi è convergenza uniforme in $ J=[-a,1] $ con $ a\in (0,1) $
Esatto?
se è così..grazie!
quindi possiamo ricapitolare il tutto.. convergenza puntuale $ \forall x \in [0,1] $
mentre vi è convergenza uniforme in $ J=[-a,1] $ con $ a\in (0,1) $
Esatto?
se è così..grazie!
"21zuclo":
Ah ok.. ho letto!
quindi possiamo ricapitolare il tutto.. convergenza puntuale $ \forall x \in [0,1] $
Convergenza puntuale in \((-1, 1]\), come avevi già trovato (a parte \(x=1\)).
ah ok.. grazie.. capito!
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