$ sum a^(2n)/( n^2 + a^(2n)) $

[benna1]

salve a tutti ragazzi! la serie a da $ n=1 $ a piu infinito e devo determinare x quali valori di a la serie converge!
ho provato in tutti i modi ma nn ho la vaga idea di come procedere! qualcuno è in grado di darmi un piccola dritta

grazie in anticipo

[itpareid]

io comincerei con la CN di Cauchy per vedere per quali valori può convergere e per quali sicuramente no...

[benna1]

che il limite sia uguale a 0? ma anche li dopo come ragiono?

[ciampax]

Intanto, usando la condizione di Cauchy come suggerito da itpareid, puoi eliminare i valori di $a$ che non vanno bene. Quali ti restano?

[benna1]

mmm io arrivo a fare il limite di $ a^(2n)/( a^(2n) + n^2) $ giusto? ma una volta che sono li mi blocco! tecnicamente dovrei avere il denominatore che va ad infinito se nn erro! oppure il numeratore a 0!

[ciampax]

No benna. Quella roba ha limiti diversi a seconda del valore di $a$. Riflettici un po' su. Dovresti sapere quanto vale, in generale, $\lim_{n\to+\infty} \alpha^n$ con $\alpha$ variabile nei numeri reali.

[benna1]

mmm allora per $ a<1$ il limite tende a piu infinito mentre $0

Cita

Segnala

[benna1]

errore volevo dire $a >1$

[ciampax]

E se $a=1,\ a\le 0$? A quel punto cosa succede al limite che devi calcolare? Devi usare questo "limite notevole" per verificare il limite che ti serve.

[benna1]

mmm forse ci sono!: se io raccolgo al denominatore $a^(2n)$ posso semplificarlo con quello al numeratore e ottengo una cosa del genere $ 1 / (1+ n^2 / a^(2n))$ e ora posso ragionare sui valori che $ a $ assume?

[ciampax]

Buono! Esiste anche un limite notevole del tipo $n^\alpha/\beta^n$... con cui potresti concludere facilmente.

[benna1]

ma utilizzando come volevo fare io posso dire: che se $0

Cita

Segnala

[ciampax]

E' un po' confuso quello che dici! Il fatto che nel tuo limite tu abbia $a^{2n}=(a^2)^n$ ti assicura che basta ragionare per $A\ge 0$. A questo punto

[tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{a^{2n}}{n^2+a^{2n}}=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & &\qquad |a|>1\\ 0 & &\qquad |a|\le 1
\end{array}\right.$[/tex]

[benna1]

perfetto mi torna tutto qua! ma mi viene spontanea una domanda! la condizione è necessaria ma non sufficente! quindi io la posso usare questa come dimostrazione della soluzione o no? e come mai la professoressa come nota mi ha scritto di tenere in considerazione il fatto che la serie è a termini positivi?

[ciampax]

Perché tenendo conto del fatto che è a termini positivi, basta semplicemente applicare uno dei criteri noti per questo tipo di serie (in questo caso, rapporto o radice). Ovviamente verificare che il limite del termine generale è diverso da zero ti permette solo di escludere, a priori, le cose che proprio non vanno bene (in questo caso, $|a|>1$). Ora devi ragionare su cosa accade quando $|a|\le 1$ usando uno dei criteri.

EDIT: 3000!!!!!!! Matematica amore mio, non posso vivere senza di te!