Sum 1/(nln(n))
è convergente $sum_{n=1}^(+oo) 1/(nln(n))$?
Risposte
per $n=1$ il denominatore non si annulla?
"GuillaumedeL'Hopital":
è convergente $sum_{n=1}^(+oo) 1/(nln(n))$?
...sarà probabilmente da studiare il carattere della serie $sum_{n=2}^(+oo) 1/(n\cdot ln(n))$. Ebbene, la serie indicata è divergente. Per provarlo, si può usare tanto il criterio di condensazione di Cauchy quanto quello di Raabe-Duhamel.
e $sum_{n=2}1/(n(ln(n))^2)$?
in generale diverge sempre $sum_{n=2}1/(n(ln(n))^alpha)$ al variare di $alpha in RR$?
in generale diverge sempre $sum_{n=2}1/(n(ln(n))^alpha)$ al variare di $alpha in RR$?
Per il criterio di condensazione di Cauchy - pensavo fosse chiaro, ma vabbè... - la serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot \ln^\alpha(n)}$ converge/diverge sse converge/diverge $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$. Traine tu le conclusioni...
ehmm..veramente quel criterio nn lo conoscevo.
cmq un'ultima cosa:
$sum_{n=2}^(oo) 1/(nln(n)ln(ln(n))ln(ln(ln(n)))ln(ln(ln(ln(n)))))=oo$?
e in generale
$sum_{n=2}^(oo) 1/(nln(n)ln(ln(n))ln(ln(ln(n)))ln(ln(ln(ln(n))))...)=oo$? penso sia chiaro che c'è al posto dei puntini
grazie
cmq un'ultima cosa:
$sum_{n=2}^(oo) 1/(nln(n)ln(ln(n))ln(ln(ln(n)))ln(ln(ln(ln(n)))))=oo$?
e in generale
$sum_{n=2}^(oo) 1/(nln(n)ln(ln(n))ln(ln(ln(n)))ln(ln(ln(ln(n))))...)=oo$? penso sia chiaro che c'è al posto dei puntini
grazie
"GuillaumedeL'Hopital":
ehmm..veramente quel criterio nn lo conoscevo.
Non ho colpa della tua ignoranza. Come tu, del resto, non hai colpa della mia.
"GuillaumedeL'Hopital":
cmq un'ultima cosa: in generale $sum_{n=2}^(oo) 1/(nln(n)ln(ln(n))ln(ln(ln(n)))ln(ln(ln(ln(n))))...)=oo$? penso sia chiaro che c'è al posto dei puntini
Probabilmente sarà chiaro a te, forse a qualcun altro. A me no, tuttavia.
...però con uno sforzo minimo immaginativo...
Se $x \in \mathbb{R}^+$, poniamo $f_1(x) = \ln(x)$ ed $f_{k+1}(x) = \ln(f_k(x))$, quindi definiamo $F_k(x) = \prod_{i=1}^k f_k(x)$, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$. Suppongo tu voglia studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot F_k(n)}$, al variare di $k \in \mathbb{Z}^+$, no?!
Se $x \in \mathbb{R}^+$, poniamo $f_1(x) = \ln(x)$ ed $f_{k+1}(x) = \ln(f_k(x))$, quindi definiamo $F_k(x) = \prod_{i=1}^k f_k(x)$, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$. Suppongo tu voglia studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot F_k(n)}$, al variare di $k \in \mathbb{Z}^+$, no?!
"DavidHilbert":
...però con uno sforzo minimo immaginativo...
Se $x \in \mathbb{R}^+$, poniamo $f_1(x) = \ln(x)$ ed $f_{k+1}(x) = \ln(f_k(x))$, quindi definiamo $F_k(x) = \prod_{i=1}^k f_k(x)$, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$. Suppongo tu voglia studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot F_k(n)}$, al variare di $k \in \mathbb{Z}^+$, no?!
si,intendevo quello, ci voleva tanta immaginazione?
"DavidHilbert":
Se $x \in \mathbb{R}^+$, poniamo $f_1(x) = \ln(x)$ ed $f_{k+1}(x) = \ln(f_k(x))$, quindi definiamo $F_k(x) = \prod_{i=1}^k f_k(x)$, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$. Suppongo tu voglia studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot F_k(n)}$, al variare di $k \in \mathbb{Z}^+$, no?!
...bene. La serie indicata diverge per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$. Basta applicare $k$ volta di fila il criterio di condensazione.
Ciao a tutti,
per dimostrare, più facilmente, che la serie diverge basta utilizzare il criterio integrale. Infatti l' integrale di xlnx vale +\infty sull' insieme (1+\epsilon, +\infty).
Di solito questo esempio è significativo per rendersi conto che la funzione logaritmo cresce meno rapidamente delle funzioni potenza.
Saluti,
Andrea
per dimostrare, più facilmente, che la serie diverge basta utilizzare il criterio integrale. Infatti l' integrale di xlnx vale +\infty sull' insieme (1+\epsilon, +\infty).
Di solito questo esempio è significativo per rendersi conto che la funzione logaritmo cresce meno rapidamente delle funzioni potenza.
Saluti,
Andrea
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo