Sull'integrabilità di campi tensoriali

[ralf86]

Ciao a tutti
nell'ambito della meccanica del continuo, in particolare nella teoria delle piccole deformazioni, mi sono trovato di fronte a questo problema (è un classico):

data una matrice $E(x,y,z)$ 3x3, reale e simmetrica, funzione del generico punto $(x,y,z)$ dello spazio "fisico", trovare sotto quali condizioni esiste un campo vettoriale $u(x,y,z)$ tale che $E = (\nablau + (\nablau)^T)/2$


Ho indicato con
$\nablau$ il gradiente di $u(x,y,z)$, cioè quella matrice, in generale non simmetrica, che ha per colonne i gradienti delle componenti del vettore
$(\nablau)^T$ la matrice trasposta di $\nablau$


- Quale settore della matematica affronta questo genere di problemi? Mi sembra geometria differenziale ma non ne sono certo.
- Sapreste consigliarmi dei testi possibilmente più semplici possibile che forniscano le basi teoriche per affrontare questo genere di problemi

Sembra una specie di "fratello maggiore" del problema classico (che so trattare):
dato un campo vettoriale u(x,y,z), sotto quali condizioni esiste un potenziale scalare V tale che $u = gradV$

ho esposto qui solo il problema matematico, se siete interessati alla sua collocazione fisica
http://en.wikipedia.org/wiki/Compatibility_(mechanics)
alla sezione "Compatibility of infinitesimal strains" viene esposto il mio problema.
Qui viene fornito anche il risultato e la dimostrazione. Il risultato è chiaro: basta verificare che rot(rot(E))=0 e che E sia definito in un semplicemente connesso. La dimostrazione invece non mi è molto chiara, utilizza strumenti matematici simili a quelli utilizzati dal problema "minore" (vedi sopra), ma non so se e come possono essere generalizzati in questo ambito più esteso e generale

grazie in anticipo

PS Ho postato anche nella sezione di Fisica Matematica con l'identico problema. Spero mi sia concesso
condizioni-suff-di-integrabilita-di-campi-tensoriali-t85209.html

[dissonance]

Devi evitare il cross-posting. Questo argomento è chiuso.