Sull'ellisse (scusate l'allitterazione)

[Pachito1]

Data una generica ellisse*, determinare la minima distanza tra essa e l'origine**.

* non centrata nell'origine
** in funzione dei coefficienti che caratterizzano l'ellisse

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un problema di minimo vincolato per una funzione di 2 variabili reali. Detta f(x,y)=x^2+y^2, basta risolvere il problema di minimo per f sul vincolo C dato dall'equazione di una generica ellisse. C e' una sottovarieta' regolare del piano di dimensione 1, e non ha parte interna, per cui basta usare il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Luca.

[Pachito1]

E dunque?

[Sk_Anonymous]

Sia:
ax+bxy+cy+dx+ey+f=0
l'equazione della conica.Il metodo dei moltiplicatori
di Lagrange consiste nel ricercare i punti critici
della funzione ax+bxy+cy+dx+ey+f+k(x+y)
con k moltiplicatore indeterminato(da qui il nome del metodo).
Annullando le derivate prime di questa nuova funzione
si ha il sistema:
2ax+by+d+2kx=0
bx+2cy+e+2ky=0
ax+bxy+cy+dx+ey+f=0
Risolto questo sistema e sostituiti nella
funzione x+y i valori di x ed y
trovati,per confronto si otterranno il minimo
ed il massimo valore richiesti.Ovviamente il calcolo
effettivo non e' materialmente possibile farlo nel caso
generale (... ma se vuoi, ci puoi provare)
karl.





Modificato da - karl il 20/05/2004 22:55:15