Sulle $f : RR -> RR$ tali che $f' = f$

[Dorian1]

Sappiamo che l'insieme:

${ f : RR -> RR | f' = f }$

è popolato dalla famiglia di funzioni $k*e^x$ , $k in RR$.
DOMANDA: vi sono altri elementi in questo insieme?

[Nebula2]

no.
la dimostrazione (costruttiva), mi sembra sia la seguente.
supponi che $f$ appartenga al tuo insieme, e poni $k(x)=f(x)e^{-x}$.
si ha poi $k'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0.
quindi $k(x)=k in RR$, e $f(x)=ke^x$.

[Dorian1]

Funziona. Grazie mille!

[Dorian1]

Oltre alla ovvia generalizzazione:

${f : RR -> RR | mf = f'} = {k*e^(mx) | k in RR}$ , $(m in RR)$

ci si può chiedere chi siano i vari insiemi:

${f : RR -> RR | f = f^((n))}$ ( $f^((n))$ individua la derivata $n$-esima della funzione $f$ )

ho analizzato il caso $n = 2$, congetturando che le funzioni di quest'insieme siano tutte del tipo $a*e^x + b*e^-x$ , $(a,b) in RR^2$ ($a = 1/2$ ,$ b in {1/2, -1/2}$ danno, rispettivamente, coseno iperbolico e seno iperbolico...). Qualcuno possiede la dimostrazione di questo fatto?

[Dorian1]

up

[Gaal Dornick]

Quanto ne sai di equazioni differenziali lineari?

Un integrale generale di $y''-y=0$ è
$y(x)=c_1 e^x + c_2 e^{-x}$.

Facile generalizzazione al caso $y^{(n)}-y=0$
l'integrale generale è $sum_(i=1)^n c_i e^(\lambda_i)x$
con $\lambda_i$ le radici n-esime dell'unità.

[gugo82]

"Gaal Dornick":Facile generalizzazione al caso $y^{(n)}-y=0$
l'integrale generale è $sum_(i=1)^n c_i e^(\lambda_i)x$
con $\lambda_i$ le radici n-esime dell'unità.

Evidentemente per $n>=3$ cominci a trovare radici complesse, quindi sembrerebbe che un'equazione differenziale lineare reale ammetta solo soluzioni complesse (infatti se $lambda \in CC$ allora l'applicazione $x\mapsto "e"^(lambda x)$ è una funzione di $RR$ in $CC$)*.

Tuttavia a questo problema si può ovviare in maniera semplice: infatti, essendo l'equazione lineare su $CC$ ed essendo $"e"^(lambdax),"e"^(\bar(lambda)x)$ soluzioni dell'equazione (qui $\bar(lambda)$ è il complesso coniugato di $lambda \in CC$), sono soluzioni dell'equazione anche le combinazioni lineari complesse $("e"^(lambdax)+"e"^(\bar(lambda)x))/2, ("e"^(lambdax)-"e"^(\bar(lambda)x))/(2"i")$; se $lambda=alpha+"i"beta$, dalla formula di Eulero segue $"e"^(lambdax)="e"^(alpha x)(cos beta x+"i"sin beta x)$ e $"e"^(\bar(lambda)x)="e"^(alpha x)(cos beta x-"i"sin beta x)$ cosicché:

$("e"^(lambdax)+"e"^(\bar(lambda)x))/2="e"^(alpha x) cos beta x\quad$ e $\quad ("e"^(lambdax)-"e"^(\bar(lambda)x))/(2"i")="e"^(alpha x)sin beta x$

e perciò le due combinazioni lineari complesse forniscono in realtà due funzioni a valori reali che risolvono l'equazione.

In generale, quindi, le funzioni che verificano l'equazione $y^((n))=y$ per $n>=3$ sono del tipo:

$c_0"e"^x+\sum_(i=1)^(n-1) c_(i,1) "e"^(alpha_i x)cos beta_ix +c_(i,1) "e"^(alpha_i x) sin beta_i x$,

ove $alpha_i,beta_i \in RR$ sono, rispettivamente, la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria delle radici $n$-esime complesse dell'unità e $c_0,c_(i,1),c_(i,2) \in RR$ sono costanti arbitrarie.

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* Ovviamente per funzioni $f:RR\to CC$ si può definire la derivata allo stesso modo di come la si definisce per funzioni di $RR\to RR$, ossia attraverso il limite del rapporto incrementale. L'operatore di derivazione ha allora tutte le solite proprietà cui siamo abituati dai corsi di Analisi I; in particolare esso è lineare anche rispetto agli scalari complessi, nel senso che $("d")/("d"x) [af(x)+bg(x)]=a("d")/("d"x)f(x)+b("d")/("d"x)g(x)$ è vera per $a,b\in CC$.
Per le derivate successive il discorso è analogo.
Quindi nulla vieta di pensare ad un'equazione del tipo $y^((n))=y$ come ad un'equazione differenziale complessa ove la derivata è presa rispetto alla variabile reale.