Sulle derivate
Posto di seguito il testo di un esercizio del mio libro di liceo
Ovviamente per $x<0$ la derivata è $-2x$ ed è quindi positiva, mentre per $x>0$ è $2x$ ed è quindi positiva; i problemi sorgono per la derivata in $x=0$: io ho trovato che vale $0$ e per trovarla ho semplicemente applicato la definizione di derivata (ho cioè costruito il rapporto incrementale della funzione e ho fatto il limte dalla destra e quello dalla sinistra e ho visto che entrambi convergevano in $0$), mentre il libro lo ha risolto così:
Quello che non riesco a capire è perchè teoricamente questo procedimento per trovare la derivata in quel punto è corretto: cioè, perchè facendo il limte dalla destra nel punto di derivazione della dervata nell'intorno destro, e facendo il limite dalla sinistra nel punto di derivazione della derivata nell'intorno sinistro, si ottiene la derivata nel punto.
Spernado che la questioni non vi annoi e augurandovi buona notte (qualora qualcuno ancora navighi sul forum a quest'ora) mi congedo attendendo delucidazioni.
Grazie.
Assegnata la funzione $f:RR to RR$ definita come segue
$f(x)={(x^2 " per" x ge 0),(-x^2 " per" x<0):}$
Si discuta la sua derivata prima in particolare per $x_0=0$.
Ovviamente per $x<0$ la derivata è $-2x$ ed è quindi positiva, mentre per $x>0$ è $2x$ ed è quindi positiva; i problemi sorgono per la derivata in $x=0$: io ho trovato che vale $0$ e per trovarla ho semplicemente applicato la definizione di derivata (ho cioè costruito il rapporto incrementale della funzione e ho fatto il limte dalla destra e quello dalla sinistra e ho visto che entrambi convergevano in $0$), mentre il libro lo ha risolto così:
Poichè la derivata prima per $x ne 0$ è la seguente:
$f'(x)={(2x " per" x>0),(-2x " per" x<0):}$
risulterà che
$lim_{x to 0^{+}}f'(x)=lim_{x to 0^{+}}(2x)=0$
$lim_{x to 0^{-}}f'(x)=lim_{x to 0^{-}}(-2x)=0$
e questo implica che la derivata in $x_0=0$ è $f'(0)=0$
Quello che non riesco a capire è perchè teoricamente questo procedimento per trovare la derivata in quel punto è corretto: cioè, perchè facendo il limte dalla destra nel punto di derivazione della dervata nell'intorno destro, e facendo il limite dalla sinistra nel punto di derivazione della derivata nell'intorno sinistro, si ottiene la derivata nel punto.
Spernado che la questioni non vi annoi e augurandovi buona notte (qualora qualcuno ancora navighi sul forum a quest'ora) mi congedo attendendo delucidazioni.
Grazie.
Risposte
contraccambio la buonanotte e all'esercizio ci torno domani..
p.s. devo smettere di andare a letto così tardi
p.s. devo smettere di andare a letto così tardi
Per comprendere il 'perchè' del metodo usato può essere utile lo studio della derivata seconda della funzione e del comportamento di tale derivata in $x=0$ e dintorni...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
C'e' un Teorema che puoi dimostrare per conto tuo (basta usare de l'Hopital) che afferma che se $f$ e' derivabile in $(a,b) \setminus {x_0}$ e se esiste finito il limite di $f'(x)$ per $x \to x_0$ e tale limite vale $l$, allora $f$ e' derivabile in $x_0$ e si ha $l=f'(x_0)$.
Ringrazio Luca.Lussardi per l'informazione, ma non riesco a dimostrarlo: non so a cosa e come aplicare l teorema di de l'Hopital...se non è toppo disturb, potesti darmi qalche indicazione su cm procedere.
Gazie.
Gazie.
Basta che usi l'Hopital sulla funzione $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$.
Allora...vediamo un poco se ci riesco:
La funzione $\phi(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ è la formulazione del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ relativamente all'incremento $x-x_0$, quindi il limite per $x to x_0$ del suddetto rapporto definisce proprio la derivata prima di $f(x)$ in $x=x_0$, quindi si ha:
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.
Il limite che costituisce il LHS dell'uguaglianza si presenta nella forma di indecisione $[\frac{0}{0}]$ e, quindi, per determinare quel limite si usa il Teorema di De L'Hopital:
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=lim_{x to x_0}[f'(x)-f'(x_0)]$
Ma a questo punto mi blocco perchè se non so se esiste e quanto vale $f'(x_0)$ come faccio a metterla in quella formula?
La funzione $\phi(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ è la formulazione del rapporto incrementale della funzione $f(x)$ relativamente all'incremento $x-x_0$, quindi il limite per $x to x_0$ del suddetto rapporto definisce proprio la derivata prima di $f(x)$ in $x=x_0$, quindi si ha:
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.
Il limite che costituisce il LHS dell'uguaglianza si presenta nella forma di indecisione $[\frac{0}{0}]$ e, quindi, per determinare quel limite si usa il Teorema di De L'Hopital:
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=lim_{x to x_0}[f'(x)-f'(x_0)]$
Ma a questo punto mi blocco perchè se non so se esiste e quanto vale $f'(x_0)$ come faccio a metterla in quella formula?
La derivata di $f(x_0)$ è zero. 
Appunto.
Quindi:
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=lim_{x to x_0}f'(x)$ (1)
essendo $\frac{d}{dx}f(x_0)=0$ e quindi la tesi.
Grazie per l'aiuto e perdonate la mia stupidità.
Solo un'ultima cosa: partendo dalla (1) significa che il teorema è buono pure se la derivata è (con abuso di linguaggio) un infinito solo che la funzione non è derivabile?
$lim_{x to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=lim_{x to x_0}f'(x)$ (1)
essendo $\frac{d}{dx}f(x_0)=0$ e quindi la tesi.
Grazie per l'aiuto e perdonate la mia stupidità.
Solo un'ultima cosa: partendo dalla (1) significa che il teorema è buono pure se la derivata è (con abuso di linguaggio) un infinito solo che la funzione non è derivabile?
Si'.
Ok.
Grazie.
Grazie.
"WiZaRd":
Il limite che costituisce il LHS dell'uguaglianza si presenta nella forma di indecisione $[\frac{0}{0}]$
Bisognerebbe pero' preventivamente osservare che $f$ e' continua in $x_0$.
Per Sandokan: e mi pare pure giusto perchè se così non fosse non avrebbe senso chiedersi quanto valga la derivata (sia che essa effettivamente ci sia come valore finito, sia che essa ci sia come valore infinito - ma con abuso di linguaggio - )...è questo che volevi dire?
"WiZaRd":
Per Sandokan: e mi pare pure giusto perchè se così non fosse non avrebbe senso chiedersi quanto valga la derivata (sia che essa effettivamente ci sia come valore finito, sia che essa ci sia come valore infinito - ma con abuso di linguaggio - )...è questo che volevi dire?
Non esattamente... volevo dire che per applicare de l'Hospital abbiamo bisogno di sapere che $lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0$, non trovi?
Intendevi dire che se la funzione non è continua allora $lim_{x to x_0}f(x) ne f(x_0) => lim_{x to x_0}(f(x)-f(x_0)) ne 0$ e quindi addio de l'Hopital?
Esatto
Ok...grazie per la notazione.
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