Sulle definizioni di misura/integrale di lebesgue

[Pdirac]

Come da titolo, il mio problema è con il plurale delLE definizioni di cui sopra: ho guardato svariati libri in carta e online, e sembra che ogni volta che trovo un testo nuovo trovo una nuova definizione. Dunque...

Riguardo alla misurabilità: dalle dispense del prof. Acquistapace (per esempio) trovo che si dà direttamente la definizione di misura esterna di un insieme E come inferiore delle misure dei plurintervalli aperti che contengono E; da qui definisce un insieme E misurabile secondo lebesgue se per ogni insieme A la misura esterna di A coincide con la somma di misura esterna dell'intersezione di E ed A e di misura esterna di A ed il complementare di E, ovvero: $m_e(A) = m_e(A nn E) + m_e(A nn bar(E))$ con $m_e$ misura esterna.

D'altra parte ad esempio sulle dispense di analisi 2 di Alberto Maggi prima di tutto si definisce la misura per insiemi aperti, poi quella per insiemi compatti, poi tramite queste la misura esterna ed interna per insieme qualsiasi, ed infine si dice un insieme misurabile secondo lebesgue se misura esterna e interna coincidono. Lo stesso M. specifica inoltre che la definizione di misura esterna e interna direttamente tramite plurintervalli (in pratica quella che usa Acquistapace) è invece propria della misura secondo Peano Jordan, che d'altra parte in altri testi, ad esempio sul de Marco, avevo visto definita direttamente tramite l'integrale di Riemann di combinazioni lineari di funzioni caratteristiche.

Un'altra versione dice un insieme E lebesgue-misurabile se $AA \epsilon >0 EE G sup E apert o : m_e(G\\E) < \epsilon$, dopo aver definito misura esterna direttamente tramite plurintervalli; definizione questa che trovo come teorema che si dimostra nel Maggi.

Questo per citare alcune delle definizioni trovate... cercando di fare luce sull'argomento sto spulciando praticamente qualcunque libro e dispensa di analisi due o teoria della misura che trovo al riguardo, ma seppure di fondo le cose siano simili (e ci mancherebbe pure..) pare che ognuno la pensi a modo suo. Dov'è la verità?

[Rigel1]

La misura di Lebesgue può essere definita in una moltitudine di modi diversi; oltre a quelli da te citati, si può definire anche attraverso il teorema di rappresentazione di Riesz (come fa, ad esempio, Rudin, "Real and complex analysis").
Non c'è un modo giusto o sbagliato di fare le cose; si tratta di modi equivalenti. Nei corsi di base si preferisce una definizione più costruttiva (simile alla prima da te citata, che si basa sulla costruzione di Carathéodory); in contesti più astratti è talvolta preferibile la definizione attraverso il teorema di Riesz.
Non è un caso che, come ti sei accorto, ciò che su un testo è una definizione su un altro è un teorema (questo accade sempre quando una certa entità può essere definita in diversi modi equivalenti).

(Personalmente, preferisco la definizione alla Carathéodory attraverso l'uso delle misure esterne, poiché è lo stesso tipo di costruzione che si usa per definire, ad esempio, le misure di Hausdorff.)