Sulla Trasformata di Fourier
Ciao a tutti,
prendiamo $f(t)={(sin(t)/t text{ se } t!=0),(1 text{ se } t=0):}$ o anche solo $g:RR^**->RR,t->sin(t)/t$.
Si ha che $f,g in L^1(RR)$ e $F[f]=F[g]=1/2 sqrt(π/2) [sgn(1-ω)+sgn(1+ω)]$.
Come è possibile che $-1$ e $1$ siano punti di discontinuità (di prima specie), il teorema sulla convergenza dominata di Lebesgue non dovrebbe garantirmi il contrario ?
Grazie in anticipo
prendiamo $f(t)={(sin(t)/t text{ se } t!=0),(1 text{ se } t=0):}$ o anche solo $g:RR^**->RR,t->sin(t)/t$.
Si ha che $f,g in L^1(RR)$ e $F[f]=F[g]=1/2 sqrt(π/2) [sgn(1-ω)+sgn(1+ω)]$.
Come è possibile che $-1$ e $1$ siano punti di discontinuità (di prima specie), il teorema sulla convergenza dominata di Lebesgue non dovrebbe garantirmi il contrario ?
Grazie in anticipo
Risposte
Le funzioni che hai indicato non sono sommabili all'infinito... hai che \( f \in L^{1}_{loc}(\mathbb{R}) \), e non di più... quindi non capisco il punto..
Grazie per la risposta,
in effetti da bravo pirla ho scritto senza prima aver controllato.
Il fatto è che la non analiticità delle primitive di $|sin(t)/t|$ mi dà dei problemi a verificare la convergenza dell'integrale improprio.
Allora dovrei trovare una funzione $h:RR^**->RR,t->h(t)$ tale che: $AA tinRR^**$ $0<=h(t)<=|sin(t)/t|$ e mostrare che $h$ non è integrabile su $RR$.
Non trovo una $h$ siffatta "furba". Te come lo dimostreresti ?
in effetti da bravo pirla ho scritto senza prima aver controllato.
Il fatto è che la non analiticità delle primitive di $|sin(t)/t|$ mi dà dei problemi a verificare la convergenza dell'integrale improprio.
Allora dovrei trovare una funzione $h:RR^**->RR,t->h(t)$ tale che: $AA tinRR^**$ $0<=h(t)<=|sin(t)/t|$ e mostrare che $h$ non è integrabile su $RR$.
Non trovo una $h$ siffatta "furba". Te come lo dimostreresti ?
Beh, ovviamente la mancata sommabilità all'infinito è legata al fattore \( \frac{1}{t} \); l'altro fattore \( |\sin(t)| \) è \( \pi \)-periodico. In genere, quando si ha a che fare con questo tipo di funzioni il procedimento è standard. E' sufficiente osservare che
\[
\begin{split}
\int_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(t)|}{t}\, dt &= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(t)|}{t} \, dt \\
& \geq \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(t)| \, dt \\
&= C \sum_{k}^{\infty} \frac{1}{k+1} = \infty
\end{split}
\]
dove ho usato che l'integrale \( \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(t)| \, dt \) è l'integrale di una funzione periodica esteso ad un intervallo di periodicità, e pertanto è uguale ad una costante indipendente dal particolare intervallo d'integrazione.
Ciò detto, è chiaro che la tua funzione è \( L^2(\mathbb{R}) \), e quindi la sua Trasformata di Fourier è ben definita come funzione di \( L^2(\mathbb{R}) \), ma in generale non puoi aspettarti che essa sia particolarmente regolare... soprattutto, a differenza delle trasformate di funzioni \(L^1\), le trasformate di funzioni \(L^2\) non sono in \(C_0\)!
Saluti.
\[
\begin{split}
\int_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(t)|}{t}\, dt &= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(t)|}{t} \, dt \\
& \geq \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(t)| \, dt \\
&= C \sum_{k}^{\infty} \frac{1}{k+1} = \infty
\end{split}
\]
dove ho usato che l'integrale \( \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(t)| \, dt \) è l'integrale di una funzione periodica esteso ad un intervallo di periodicità, e pertanto è uguale ad una costante indipendente dal particolare intervallo d'integrazione.
Ciò detto, è chiaro che la tua funzione è \( L^2(\mathbb{R}) \), e quindi la sua Trasformata di Fourier è ben definita come funzione di \( L^2(\mathbb{R}) \), ma in generale non puoi aspettarti che essa sia particolarmente regolare... soprattutto, a differenza delle trasformate di funzioni \(L^1\), le trasformate di funzioni \(L^2\) non sono in \(C_0\)!
Saluti.
@ lordb: Se vuoi visualizzare la cosa, immagina che in ogni campana del grafico di \(|f(x)|:=\frac{|\sin x|}{x}\) corrispondente all'intervallo \([n\pi,(n+1)\pi]\) puoi inscrivere un triangolo la cui area è circa uguale a \(1/n\):
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth= 2;
plot("abs(sin(x))/x", 0,18);[/asvg]
Quindi, dato che la serie armonica \(\sum 1/n\) diverge, anche l'integrale improprio di \(|f(x)|\) diverge.
Per maggiori ragguagli, vedi qui e seguenti.
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=0; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth= 2;
plot("abs(sin(x))/x", 0,18);[/asvg]
Quindi, dato che la serie armonica \(\sum 1/n\) diverge, anche l'integrale improprio di \(|f(x)|\) diverge.
Per maggiori ragguagli, vedi qui e seguenti.
@s.stuv Perfetto, ho capito! Ti ringrazio sei stato veramente molto utile 
@gugo82 Molto simpatica come cosa!
Già che ci sono provo a vedere quanto vale l'area $A_n$ di ciacun triangolino (senza l'approssimazione).
Considero l'intervallo: $[npi,(n+1)pi]$ con $ninNN^**$, allora si ha che:
$A_n=1/2*mis([npi,(n+1)pi])*|sin((npi+(n+1)pi)/2)|/((npi+(n+1)pi)/2)=pi/2*|cos(npi)|/(npi+pi/2)=pi/2*1/(npi+pi/2)=1/(2n+1)$
Poichè $sum_(n=1)^(+oo)1/(2n+1)$ diverge positivamente dunque si ottiene lo stesso risultato. Va bene?
@gugo82 Molto simpatica come cosa!
Già che ci sono provo a vedere quanto vale l'area $A_n$ di ciacun triangolino (senza l'approssimazione).
Considero l'intervallo: $[npi,(n+1)pi]$ con $ninNN^**$, allora si ha che:
$A_n=1/2*mis([npi,(n+1)pi])*|sin((npi+(n+1)pi)/2)|/((npi+(n+1)pi)/2)=pi/2*|cos(npi)|/(npi+pi/2)=pi/2*1/(npi+pi/2)=1/(2n+1)$
Poichè $sum_(n=1)^(+oo)1/(2n+1)$ diverge positivamente dunque si ottiene lo stesso risultato. Va bene?
No, non è vero.
Infatti, il massimo della funzione \(\frac{|\sin x|}{x}\) in \([n\pi, (n+1)\pi]\) non è preso nel punto medio di tale intervallo.
Infatti, il massimo della funzione \(\frac{|\sin x|}{x}\) in \([n\pi, (n+1)\pi]\) non è preso nel punto medio di tale intervallo.
Mamma mia che ingenuità!
Tuttavia visto che è una funzione concava anche con i triangoli da me considerati dovrebbe funzionare il ragionamento, no ?
Tuttavia visto che è una funzione concava anche con i triangoli da me considerati dovrebbe funzionare il ragionamento, no ?
Certo. 
P.S.: La funzione non è globalmente concava, ma ho capito l'intento...
P.S.: La funzione non è globalmente concava, ma ho capito l'intento...
Sisi intendevo ogni restrizione a gli intervalli $[npi,(n+1)pi]$ con $ninNN^**,n>=1$.
Comunque perfetto, grazie mille!!
Comunque perfetto, grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo