Sulla successione \( \left(\sqrt[n]{n!}\right)_n \)
Ciao! La successione \( a_n = \sqrt[n]{n!} \) si può definire induttivamente come
\[
\begin{cases}
a_n = 1 & \text{se $ n = 1 $}\\
a_n = \sqrt[n]n\cdot a_{n - 1} & \text{se $ n>1 $}
\end{cases}
\]
Dato dunque un \( n\in\mathbb N \), e posta la funzione reale \( f_n\colon x\mapsto \sqrt[n]n x \), la disuguaglianza
\[
f_n(x)\geqq x
\] è vera sempre, e quindi la suddetta successione è crescente. [Perché per ogni \( n\in\mathbb N \) è \( a_n = f_n(a_{n - 1})\geqq a_{n - 1} \)].
Come faccio a dimostrare possibilmente usando solo la definizione induttiva che \( \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \) è anche superiormente illimitata? (Per esserlo, superiormente illimitata, lo è, ma non so dimostrarlo senza usare la sua forma chiusa).
\[
\begin{cases}
a_n = 1 & \text{se $ n = 1 $}\\
a_n = \sqrt[n]n\cdot a_{n - 1} & \text{se $ n>1 $}
\end{cases}
\]
Dato dunque un \( n\in\mathbb N \), e posta la funzione reale \( f_n\colon x\mapsto \sqrt[n]n x \), la disuguaglianza
\[
f_n(x)\geqq x
\] è vera sempre, e quindi la suddetta successione è crescente. [Perché per ogni \( n\in\mathbb N \) è \( a_n = f_n(a_{n - 1})\geqq a_{n - 1} \)].
Come faccio a dimostrare possibilmente usando solo la definizione induttiva che \( \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \) è anche superiormente illimitata? (Per esserlo, superiormente illimitata, lo è, ma non so dimostrarlo senza usare la sua forma chiusa).
Risposte
Innanzitutto, ti conviene sistemare il titolo del thread, perché un limite è cosa differente da una successione.
Poi, no, non "si può definire induttivamente come...". Ci manca qualcosa nella ricorrenza.
Poi, no, non "si può definire induttivamente come...". Ci manca qualcosa nella ricorrenza.
@marco2132k
La ricorrenza che hai scritto è errata.
La ricorrenza che hai scritto è errata.
È vero, grr
Quindi. Se io volessi scrivere ricorsivamente \( (a_n)_n \), come faccio?
P.s. Sì, volevo far vedere che la successione (scritta ricorsiva!) diverge, però poi ho cambiato il titolo - quasi.
Quindi. Se io volessi scrivere ricorsivamente \( (a_n)_n \), come faccio?
P.s. Sì, volevo far vedere che la successione (scritta ricorsiva!) diverge, però poi ho cambiato il titolo - quasi.
Beh, ad esempio:
$a_n^n = n a_(n-1)^(n-1)$.
$a_n^n = n a_(n-1)^(n-1)$.
Ok. Quindi di fatto la forma chiusa è più semplice da maneggiare, giusto? non vale neanche la pena di studiare “quella cosa”?
"marco2132k":
Ok. Quindi di fatto la forma chiusa è più semplice da maneggiare, giusto?
Mai detta questa cosa.
Prova.
Qualche trucco che può venire in mente per semplificare è usare una successione ausiliaria tipo $b_n := a_n^n$ o $c_n := log a_n^n$.
"marco2132k":
non vale neanche la pena di studiare “quella cosa”?
Cosa?
Ma la successione in esame non è \(n!^{1/n!}\)?
No.
Prova.Ma sapevo quanto faceva. Si può dimostrare che per ogni successione \( \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \) a valori nei reali estesi valgono le disuguaglianze
\[
\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_n}\leqq\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\leqq\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\leqq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_n}
\] Quindi basta far vedere che la successione \( n\mapsto n + 1 \) diverge. Questo se si conosce la forma chiusa della successione in oggetto. Oppure si può minorare (come avevo scritto prima credo, ma poi ho cancellato).
"gugo82":
[quote="marco2132k"]non vale neanche la pena di studiare “quella cosa”?
Cosa?[/quote] Dico che non ho la minima idea di come tratterei \( a_n^n = na_{n - 1}^{n - 1} \); fa troppo più schifo di quella di prima.
\( {n!}^{1/n!} \)Ma questa non fa \( 1 \)?
Fa 1 ed è anche diversa, sì, ebbi leggiuto male.
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