Sulla serie

[nikki1]

come si studia la serie n=1 a +inf (n^2+n^(3x))/(n^4+n^(1-2x)), converge per x<1 ma non capisco come si arriva a questo risultato

[Sk_Anonymous]

Conviene procedere per confronti asintotici. Il numeratore e' asintotico a n^2 se 3x<=2, altrimenti e' asintotico a n^(3x). Il denominatore e' asintotico a n^4 se (1-2x)<=4, altrimenti e' asintotico a n^(1-2x). Cosi' facendo hai tre casi per x:
1) se x sta in [-3/2,2/3], allora il quoziente dato e' asintotico a 1/n^2, per cui si ha convergenza per ogni x;
2) se x>2/3, allora il quoziente dato e' asintotico a 1/n^(4-3x), per cui si ha convergenza se x<1;
3) se x<-3/2, allora il quoziente dato e' asintotico a 1/n^(-1-2x), per cui si ha convergenza per ogni x.

Concludendo, si ha convergenza per ogni x<1.

Luca77
http://www.llussardi.it

[gicif]

Vi chiedo una conferma:
devo studiare il carattere della serie
SUM(n^(1/3)/sqrt(n^3+n)) in n da 1 a inf
ed ho ragionato così:
il numeratore è n^(1/3) e il denominatore è asintotico a n^(3/2).
Ottengo il termine generale n^(1/3)/n^(3/2), cioè 1/n^(7/6), che dà luogo ad una serie armonica generalizzata di esponente 7/6>1, quindi convergente.
Secondo voi è corretto ed accettabile quanto ho fatto?
Grazie

[_Tipper]

Secondo me è corretto

[gicif]

Grazie 1000 Tipper!