Sulla radice quadrata (complessa)

[Paolo902]

Qui leggo:

[...]

Suppose $(f(z))^2=z$ for some continuous $f$.
By the implicit function theorem, $f(z)$ is complex differentiable (=holomorphic) for all $z\ne 0$ in $\mathbb C$.
However since $f$ is continuous at $0$, it is also differentiable there thanks to Riemann's extension theorem.
Differentiating $z=f(z)^2$ at $z=0$ leads to $1=2f(0)f'(0)=2\cdot0\cdot f'(0)=0 \;$. Contradiction.

Il sottolineato è mio ed è il punto oscuro della dimostrazione, il resto è chiaro come il giorno.

Nel corso di Analisi complessa che ho seguito io abbiamo dimostrato che la radice quadrata (definita sul complementare del semiasse negativo delle ascisse) è olomorfa.

Non capisco come l'autore usi l'implicit function theorem: suggerimenti?

Grazie.

[dissonance]

C'è una versione olomorfa del teorema della versione inversa e del teorema della funzione implicita... i dettagli non me li ricordo purtroppo, ma ricordo che sul libro di Lang sottolineava che si può dimostrare in vari modi, uno dei quali è sicuramente il teorema di Rouché (un altro è la manipolazione algebrica delle serie di potenze e forse si può anche estendere il teorema reale mediante le equazioni di Cauchy-Riemann). In questo caso la funzione definita implicitamente da \(w^2=z\) è olomorfa a patto che \(z\ne 0\) , perché in quel caso la derivata del membro sinistro si annulla.

Insomma, la mia spiegazione è un po' scarsa, ma prova a dare un occhio al libro di Lang che ti dovresti chiarire ogni dubbio.

[yellow2]

A me sembra ovvio che l'inversa locale sia olomorfa. Considerata $f$ come applicazione $RR^2->RR^2$, si ha $d(f^(-1))=(df)^(-1)$ e siccome $df$ è $CC$-lineare lo è anche $d(f^(-1))$. Sbaglio?

[Paolo902]

@ dissonance: grazie per il riferimento a Lang, tuttavia non mi sono chiarito molto le idee. Più che altro è che sul Lang non parla della funzione implicita, ma solo della funzione inversa. Ho guardato anche queste note, entrambi i teoremi sono enunciati e discussi per bene, ma non capisco quale teorema io debba usare.

@ yellow: appunto, l'inversa locale di una funzione olomorfa sarà olomorfa, questo sembra ovvio anche a me.

Però il problema, ciò che più mi disturba, è che $f$ è solo continua per ipotesi (assurda). Qualunque teorema stile funzione implicita/inversa comincia dicendo: "Sia $f$ una funzione olomorfa su un aperto...".

E dove sta la mia $f$ olomorfa?
Il ragionamento del'autore di quel post mi pare qualcosa del tipo: $f^2$ è l'identità, che è olomorfa, quindi per ... anche $f$.

Ma come completo i puntini?

[yellow2]

$f$ è l'inversa di $z^2$, che è olomorfa! Secondo me quello che si intende è: $z^2$ è invertibile localmente e olomorficamente per ogni $z!=0$. Se esiste un'inversa globale continua, arriviamo a un assurdo.

[Paolo902]

yellow, non potevi essere più chiaro di così.
Grazie mille, ora tutto torna.

[dissonance]

Giusto giusto, bravo yellow! Scusa Paolo, ti ho dato un suggerimento fuorviante, in realtà non è affatto questione di implicit function theorem ma molto più semplicemente del "teorema di derivabilità della funzione inversa", che poi è essenzialmente quello di Analisi 1 direi. Meno male che yellow se ne è accorto e ha salvato la situazione.

[yellow2]

Penso sia sottointeso un: se $w!=0$, allora anche $f(w)!=0$ e vicino a $w$ possiamo prendere prendiamo l'inversa olomorfa $g$ di $z^2$ tale che $g(w)=f(w)$. Allora dalla relazione $f(z)^2=z$ abbiamo $f=g$ in tutto un intorno di $w$ e in particolare $f$ è localmente olomorfa (cavoli ci ho messo un'ora a capirlo decentemente a livello algebrico!).
E poi sì è fuorviante il richiamo al teorema delle funzioni implicite, che io considero figlio e non padre di quello dell'applicazione inversa.