Sulla numerabilità
Salve a tutti, il mio problema è il seguente:
Supponiamo di prendere una successione di numeri razionali $(x_n)_(n\in\mathbb{N})$, in cui i primi $n$ termini sono, appunto, dei razionali e poi la successione è definitivamente nulla.
Prima domanda: posso dire che i termini della successione sono numerabili?
Seconda domanda: Se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di questo tipo, questo è numerabile?
Terza domanda: Se consideriamo tutte le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno, posso continuare a dire che gli elementi della successione sono numerabili? E se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di razionali di questo tipo, questo è ancora numerabile?
Vi pongo queste domande, per capire perché nella dimostrazione che lo spazio $l_p$ è separabile si prendono proprio le successioni di razionali definitivamente nulle e non quelle di razionali a meno di quelle composte solo da zero e da uno con le quali si trova una corrispondenza biunivoca con i numeri di $[0,1]$.
Vi ringrazio per il tempo
Supponiamo di prendere una successione di numeri razionali $(x_n)_(n\in\mathbb{N})$, in cui i primi $n$ termini sono, appunto, dei razionali e poi la successione è definitivamente nulla.
Prima domanda: posso dire che i termini della successione sono numerabili?
Seconda domanda: Se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di questo tipo, questo è numerabile?
Terza domanda: Se consideriamo tutte le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno, posso continuare a dire che gli elementi della successione sono numerabili? E se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di razionali di questo tipo, questo è ancora numerabile?
Vi pongo queste domande, per capire perché nella dimostrazione che lo spazio $l_p$ è separabile si prendono proprio le successioni di razionali definitivamente nulle e non quelle di razionali a meno di quelle composte solo da zero e da uno con le quali si trova una corrispondenza biunivoca con i numeri di $[0,1]$.
Vi ringrazio per il tempo
Risposte
A me risulta che \(\ell^p\) sia separabile, almeno per \(p\in(1,\infty)\): https://math.stackexchange.com/q/487319/8157
Si si perdonami! Correggo 
Cioè, come faccio a dimostrare che quelle successioni sono costituite da un numero di elementi numerabile?
Che cosa vuoi dimostrare, che una successione ha un numero infinito numerabile di termini (vero, e ovvio) oppure che l'insieme di tutte le successioni di razionali definitivamente nulle e' numerabile (vero, ma meno banale)?
"elatan":Senza senso.
Prima domanda: posso dire che i termini della successione sono numerabili?
Seconda domanda: Se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di questo tipo, questo è numerabile?
Si, perché ha la potenza di \(\mathbb Q^n\). Qui capisco che \(n\) è un numero intero fissato a priori.
Terza domanda: Se consideriamo tutte le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno, posso continuare a dire che gli elementi della successione sono numerabili? E se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di razionali di questo tipo, questo è ancora numerabile?
Vi pongo queste domande, per capire perché nella dimostrazione che lo spazio $l_p$ è separabile si prendono proprio le successioni di razionali definitivamente nulle e non quelle di razionali a meno di quelle composte solo da zero e da uno con le quali si trova una corrispondenza biunivoca con i numeri di $[0,1]$.
Qua non è che si capisca molto, cosa significa "gli elementi della successione sono numerabili"? "Le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno"?
Una cosa che forse ti può aiutare è rimarcare che, mentre l'insieme
\[
\{ (n_1, n_2, n_3 \ldots ) \ |\ n_j\in \mathbb N\}
\]
non è numerabile, perché si può mettere in corrispondenza biunivoca con \([0, 1]\), l'insieme
\[
\{ (q_1, q_2, q_3\ldots ) \ |\ q_j\in\mathbb Q,\, \exists N\in\mathbb N\ :\ q_j=0\, \forall j\ge N\}\]
è numerabile, perché in corrispondenza biunivoca con \(\bigcup_{N=0}^\infty \mathbb Q^N\), che è unione numerabile di insiemi numerabili.
"killing_buddha":
Che cosa vuoi dimostrare, che una successione ha un numero infinito numerabile di termini (vero, e ovvio) oppure che l'insieme di tutte le successioni di razionali definitivamente nulle e' numerabile (vero, ma meno banale)?
Grazie per la risposta.
Comunque io vorrei dimostrare che l'insieme di tutte le successioni di razionali definitivamente nulle e' numerabile. In particolare, vorrei sapere perché non si sono prese nella dimostrazione le successioni dei razionali a meno di quelle composte solo da zero e uno, le quali possono essere messe in corrispondenza biunivoca con i numeri di $[0,1]$.
Cioè perché nella dimostrazione del fatto che $l_p$ è separabile non abbiamo preso tutte le successioni di razionali a meno di quello composte solo da zero e uno che sono quelle che ci danno problemi.
"dissonance":Senza senso.
[quote="elatan"]
Prima domanda: posso dire che i termini della successione sono numerabili?
Seconda domanda: Se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di questo tipo, questo è numerabile?
Si, perché ha la potenza di \(\mathbb Q^n\). Qui capisco che \(n\) è un numero intero fissato a priori.
Terza domanda: Se consideriamo tutte le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno, posso continuare a dire che gli elementi della successione sono numerabili? E se consideriamo l'insieme $M$ fatto di tutte le successioni di razionali di questo tipo, questo è ancora numerabile?
Vi pongo queste domande, per capire perché nella dimostrazione che lo spazio $l_p$ è separabile si prendono proprio le successioni di razionali definitivamente nulle e non quelle di razionali a meno di quelle composte solo da zero e da uno con le quali si trova una corrispondenza biunivoca con i numeri di $[0,1]$.
Qua non è che si capisca molto, cosa significa "gli elementi della successione sono numerabili"? "Le successioni di razionali a meno di quelle che sono costituite da zero e uno"?
Una cosa che forse ti può aiutare è rimarcare che, mentre l'insieme
\[
\{ (n_1, n_2, n_3 \ldots ) \ |\ n_j\in \mathbb N\}
\]
non è numerabile, perché si può mettere in corrispondenza biunivoca con \([0, 1]\), l'insieme
\[
\{ (q_1, q_2, q_3\ldots ) \ |\ q_j\in\mathbb Q,\, \exists N\in\mathbb N\ :\ q_j=0\, \forall j\ge N\}\]
è numerabile, perché in corrispondenza biunivoca con \(\bigcup_{N=0}^\infty \mathbb Q^N\), che è unione numerabile di insiemi numerabili.[/quote]
Grazie per la risposta. E cosa possiamo dire in merito a tutte le successioni di razionali a meno di quelle composte solo da zero e uno? Cioè perché nella dimostrazione del fatto che $l_p$ è separabile si è preferito prendere quelle definitivamente nulle e non quelle dei razionali a meno di quelle composte solo da zero e uno, le quali possono essere viste come la rappresentazione binaria dei numeri di $[0,1]$?
Ma non c'entra nulla questa storia degli zero e uno. Una tale successione, tra l'altro, non è mai in $l^p$ a meno che non sia definitivamente nulla.
Ciao! Vediamo se ho bene inteso il tuo suggerimento:
sia $M$ l' insieme delle sequenze y della forma
\[
y=(q_1,q_2\cdot\cdot\cdot,q_n,0,0,\cdot\cdot\cdot )
\]
dove $n$ è un intero positivo. Quindi, se ho ben capito, in $M$ ci stanno tutte le successioni di razionali definitivamente nulle, quindi $n$ non lo fissiamo a priori, basta che i primi termini siano in numero finito e poi tutto nullo, allora è una successione che appartiene ad $M$. Per dimostrare che $M$ è numerabile procediamo per passi, consideriamo dapprima l'insieme $M_1$ composto dalle sequenze del tipo
\[
y=(q_1,0,\cdot\cdot\cdot,0,0,\cdot\cdot\cdot).
\]
L'insieme $M_1$ ha la potenza di $\mathbb{Q}$.
Ora, consideriamo l'insieme $M_2$ composto dalle sequenze del tipo
\[
y=(q_1,q_2,0\cdot\cdot\cdot,0,0,\cdot\cdot\cdot).
\]
L'insieme $M_2$ ha la potenza di $\mathbb{Q^2}$, il quale è un insieme numerabile.
Procedendo in questo modo, avremo che il nostro $M$ ha la potenza di
\[
\bigcup_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Q^n}
\]
che è numerabile in quanto unione numerabile di numerabili.
Invece, se fissassimo $n$ a priori, avremmo che il nostro $M$ ha la potenza di $\mathbb{\Q^n}$ che è sempre numerabile.
sia $M$ l' insieme delle sequenze y della forma
\[
y=(q_1,q_2\cdot\cdot\cdot,q_n,0,0,\cdot\cdot\cdot )
\]
dove $n$ è un intero positivo. Quindi, se ho ben capito, in $M$ ci stanno tutte le successioni di razionali definitivamente nulle, quindi $n$ non lo fissiamo a priori, basta che i primi termini siano in numero finito e poi tutto nullo, allora è una successione che appartiene ad $M$. Per dimostrare che $M$ è numerabile procediamo per passi, consideriamo dapprima l'insieme $M_1$ composto dalle sequenze del tipo
\[
y=(q_1,0,\cdot\cdot\cdot,0,0,\cdot\cdot\cdot).
\]
L'insieme $M_1$ ha la potenza di $\mathbb{Q}$.
Ora, consideriamo l'insieme $M_2$ composto dalle sequenze del tipo
\[
y=(q_1,q_2,0\cdot\cdot\cdot,0,0,\cdot\cdot\cdot).
\]
L'insieme $M_2$ ha la potenza di $\mathbb{Q^2}$, il quale è un insieme numerabile.
Procedendo in questo modo, avremo che il nostro $M$ ha la potenza di
\[
\bigcup_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Q^n}
\]
che è numerabile in quanto unione numerabile di numerabili.
Invece, se fissassimo $n$ a priori, avremmo che il nostro $M$ ha la potenza di $\mathbb{\Q^n}$ che è sempre numerabile.
Esatto.
Grazie!
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