Sulla NECESSITA' degli spazi di Hilbert
Dunque, mi pare di aver capito che l'esigenza degli spazi di Hilbert nasce dal fatto che vorremmo poter considerare anche combinazioni lineari infinite in spazi vettoriali infinito dimensionali.
E la teoria degli spazi di Hilbert arriva a dire che: se $H$ è spazio di Hilbert $=>$ esiste una base ortonormale di infiniti elementi ${\phi_1,\phi_2,... , \phi_n, ...}$, cioè tale che $\forall x\in H \ \ \ x=\sum_{i=1}^{+\infty} c_i*\phi_i$
ma è vero il viceversa? cioè è proprio questo di cui abbiamo bisogno?
Quindi provo a ragionare al contrario.
Se io avessi una base ortonormale infinita ${\phi_1,\phi_2,... , \phi_n, ...}$ e generassi con essa uno spazio vettoriale $X$, a priori non potrei dire che le combinazioni lineari infinite degli elementi della base appartengono a $X$.
Allora direi che per ottenere quello che ci serve dobbiamo supporre che
$\forall\ {z_n}\subsetX\ $di cauchy$\ \ tc\ \ z_n=\sum_{i=1}^{n} c_i*x_i$ con $x_i\inX$ e $c_i\in\mathbb{C}$ $=>$ ${z_n}$ converge a $z_0$ in $X$
questa condizione implica la completezza di $X$? E quindi si riesce a vedere che ci serve proprio lo spazio di Hilbert? Mi aiutate a vederlo?
E la teoria degli spazi di Hilbert arriva a dire che: se $H$ è spazio di Hilbert $=>$ esiste una base ortonormale di infiniti elementi ${\phi_1,\phi_2,... , \phi_n, ...}$, cioè tale che $\forall x\in H \ \ \ x=\sum_{i=1}^{+\infty} c_i*\phi_i$
ma è vero il viceversa? cioè è proprio questo di cui abbiamo bisogno?
Quindi provo a ragionare al contrario.
Se io avessi una base ortonormale infinita ${\phi_1,\phi_2,... , \phi_n, ...}$ e generassi con essa uno spazio vettoriale $X$, a priori non potrei dire che le combinazioni lineari infinite degli elementi della base appartengono a $X$.
Allora direi che per ottenere quello che ci serve dobbiamo supporre che
$\forall\ {z_n}\subsetX\ $di cauchy$\ \ tc\ \ z_n=\sum_{i=1}^{n} c_i*x_i$ con $x_i\inX$ e $c_i\in\mathbb{C}$ $=>$ ${z_n}$ converge a $z_0$ in $X$
questa condizione implica la completezza di $X$? E quindi si riesce a vedere che ci serve proprio lo spazio di Hilbert? Mi aiutate a vederlo?
Risposte
Spero che quanto scrivo qui di seguito ti possa esser utile in qualche modo, anche perchè non so se ho colto il senso ultimo della tua domanda.
Innanzitutto una notazione terminologica: le combinazioni lineari infinite non esistono.
Dire che $x=\sum_(n=1)^(+oo) x_n e^n$ equivale a dire che $x$ può essere approssimato in norma dagli elementi della successione $\sum_(n=1)^(N)x_n e^n$.
Quando generi uno spazio vettoriale con un insieme infinito (supponiamolo numerabile, per comodità) $S:=\{ e^n\}_(n\in NN)$ lo spazio vettoriale generato $"span "S$ contiene tutte e sole le combinazioni lineari di elementi di $S$; in altre parole, se $c_(00)$ è lo spazio delle successioni definitivamente nulle sul campo reale (o complesso), allora ogni elemento $x\in "span "S$ si scrive in unico modo come $x:=\sum_(n=1)^(+oo) x_n e^n$ ove $(x_n) \in c_(00)$*. Pertanto possiamo identificare $"span "S$ con $c_(00)$ mediante un ismomorfismo, quindi basta osservare cosa accade in $c_(00)$ per capire il caso generale (per questo gli spazi di successioni sono molto utili: fungono da modello semplice).
Questo tipo di spazio generato di per sé basta agli scopi dell'Algebra Lineare, ma è alquanto inutile ai fini dell'Analisi: infatti, visto che l'analista usa procedimenti di limite, ha da richiedere che lo spazio in cui va a finire abbia delle "buone" proprietà topologiche (ad esempio, l'essere separato e la completezza) in modo da non incontrare difficoltà.
L'essere separato è una delle proprietà topologiche "buone" degli spazi metrici, quindi la cosa che viene in mente è: mettiamo una metrica su $c_(00)$ (o, ciò che è lo stesso, su $"span "S$).
Visto che le successioni di $c_(00)$ hanno un numero finito di elementi non nulli, ha senso estendere la norma euclidea su $c_(00)$ ponendo:
$AA x=(x_n) \in c_(00),\ |x|^2:=\sum_(n=1)^(+oo)|x_n|^2$*;
fatto ciò, possiamo cominciare anche a parlare di limiti in $c_(00)$ (infatti la norma induce una metrica, la metrica induce una topologia, la topologia ti consente di pensare ai limiti).
Il problema di $c_(00)$ è che esso, come spazio metrico, non è completo, nel senso che non tutte le successioni di Cauchy in $|\cdot |$ sono convergenti in $|\cdot|$: esempio classico, prendi la successione (di successioni):
$x^1:=(1,0,\ldots,0,\ldots),\ x^2:=(1,1/2,0,\ldots ,0,\ldots),\ x^3:=(1,1/2,1/3,0\ldots ,0,\ldots),\ \ldots ,x^m:=(1,1/3,\ldots,1/m,0,\ldots ,0,\ldots),\ \ldots$
la successione $(x^m)\subset c_(00)$ è di Cauchy in $|\cdot |$**, epperò $(x^m)$ non converge in $c_(00)$***.
Quindi, anche se strutturato come spazio normato (e quindi metrico e perciò separabile), $c_(00)$ non è "buono" per l'Analisi in quanto manca la completezza, ovvero non c'è la certezza che tutte le successioni di Cauchy convergano in $c_(00)$.
Si pone allora la questione: è possibile trovare uno spazio vettoriale normato e completo nel quale immergere isometricamente (ossia conservando la norma) $c_(00)$?
La risposta è sì e dico che tale spazio non solo esiste con le suddette proprietà, ma è anche caratterizzato dal fatto che $c_(00)$ è denso in tale spazio: questo spazio più grande in cui $c_(00)$ è immerso si chiama completamento di $c_(00)$ rispetto alla (metrica indotta dalla) norma.
La dimostrazione di questo risultato è lunga e faticosa (e te la risparmio), ma alla fine ti fornisce solo un modello astratto del completamento di $c_(00)$; quindi bisogna trovare un modello concreto per tale spazio.
Avrai capito da solo che il modello concreto del completamento di $c_(00)$ rispetto alla norma $|\cdot |$ è $l^2$ (dotato della sua norma naturale $||\cdot ||_2$): infatti:
1) $c_(00) \subseteq l^2$, in quanto ogni successione definitivamente nulla è a quadrato sommabile (la somma dei quadrati delle componenti non nulle di $x\in c_(00)$ è necessariamente finita);
2) $AA x\in c_(00),\ |x|=||x||_2$ (segue dalle definizioni delle norme);
3) $c_(00)$ è denso in $l^2$ rispetto alla norma $||\cdot||_2$.
Il risultato 3) è l'unico che bisogna dimostrare e, per acquisirlo, bisogna far vedere che $AA x \in l^2,\ exists (x^m)\subseteq c_(00):\ lim_m||x^m-x||_2= 0$.
Fissato $x=(x_n) \in l^2$ e facile far vedere che la successione di termine generale $x^m:=(x_1,\ldots ,x_m,0,\ldots ,0,\ldots)$ (che si ottiene troncando $x$ all'$m$-esimo elemento) è fatta da elementi di $c_(00)$ e converge ad $x$ in $||\cdot||_2$.****
Quindi ecco che abbiamo costruito lo spazio di Hilbert più gettonato, $l^2$, a partire da $c_(00)$ (strutturato solo come spazio vettoriale).
Lo spazio $l^2$ è ottimo per l'analista: infatti è uno spazio metrico completo (quindi vale il teorema di unicità del limite e si possono costruire successioni di Cauchy avendo la sicurezza che convergono); in più la norma è generata da un prodotto scalare proprio come in $RR^n$ (o $CC^n$), i funzionali lineari continui si rappresentano come in $RR^n$ (o $CC^n$) cioè col prodotto scalare, etc... Insomma ha tutte le proprietà degli spazi finito dimensionali ed anche qualcosa in più!
__________
* [size=75]Non farti ingannare, la sommatoria è fatta su un numero finito d'indici; il simbolo $\sum_(n=1)^(+oo)$ l'ho usato solo per comodità -altrimenti avrei dovuto trovare un nome per l'indice dell'ultimo elemento non nullo di $(x_n)$.[/size]
** [size=75]Infatti $|x^m-x^(m+p)|^2=\sum_(n=m+1)^(m+p)|x_n^(m+p)|^2=\sum_(n=m+1)^(m+p)1/n^2<\sum_(n=m+1)^(+oo) 1/n^2$ e la successione all'ultimo membro è infinitesima -in quanto successione dei resti d'una serie convergente.[/size]
*** [size=75]Per assurdo, supponiamo che esista $x=(x_n)\in c_(00)$ tale che $lim_m |x^m-x|=0$; detto $N \in NN$ l'indice dell'ultima componente non nulla di $x$ e preso $m>N$ si trova:
$|x^m-x|^2=\sum_(n=1)^(+oo)|x_n^m-x_n|^2>=\sum_(n=N+1)^(m) |x_n^m|^2=\sum_(n=N+1)^(m)1/n^2>1/(N+1)^2$
dalla quale, passando al limite per $m\to +oo$, consegue:
$0=lim_m |x^m-x|^2>=1/(N+1)^2>0$
il che è assurdo.[/size]
**** [size=75]Infatti $||x^m-x||_2^2=\sum_(n=m+1)^(+oo) |x_n|^2$, con la successione a secondo membro infinitesima -essendo successione dei resti della serie convergente $\sum_(n=1)^(+oo) |x_n|^2$.[/size]
Innanzitutto una notazione terminologica: le combinazioni lineari infinite non esistono.
Dire che $x=\sum_(n=1)^(+oo) x_n e^n$ equivale a dire che $x$ può essere approssimato in norma dagli elementi della successione $\sum_(n=1)^(N)x_n e^n$.
Quando generi uno spazio vettoriale con un insieme infinito (supponiamolo numerabile, per comodità) $S:=\{ e^n\}_(n\in NN)$ lo spazio vettoriale generato $"span "S$ contiene tutte e sole le combinazioni lineari di elementi di $S$; in altre parole, se $c_(00)$ è lo spazio delle successioni definitivamente nulle sul campo reale (o complesso), allora ogni elemento $x\in "span "S$ si scrive in unico modo come $x:=\sum_(n=1)^(+oo) x_n e^n$ ove $(x_n) \in c_(00)$*. Pertanto possiamo identificare $"span "S$ con $c_(00)$ mediante un ismomorfismo, quindi basta osservare cosa accade in $c_(00)$ per capire il caso generale (per questo gli spazi di successioni sono molto utili: fungono da modello semplice).
Questo tipo di spazio generato di per sé basta agli scopi dell'Algebra Lineare, ma è alquanto inutile ai fini dell'Analisi: infatti, visto che l'analista usa procedimenti di limite, ha da richiedere che lo spazio in cui va a finire abbia delle "buone" proprietà topologiche (ad esempio, l'essere separato e la completezza) in modo da non incontrare difficoltà.
L'essere separato è una delle proprietà topologiche "buone" degli spazi metrici, quindi la cosa che viene in mente è: mettiamo una metrica su $c_(00)$ (o, ciò che è lo stesso, su $"span "S$).
Visto che le successioni di $c_(00)$ hanno un numero finito di elementi non nulli, ha senso estendere la norma euclidea su $c_(00)$ ponendo:
$AA x=(x_n) \in c_(00),\ |x|^2:=\sum_(n=1)^(+oo)|x_n|^2$*;
fatto ciò, possiamo cominciare anche a parlare di limiti in $c_(00)$ (infatti la norma induce una metrica, la metrica induce una topologia, la topologia ti consente di pensare ai limiti).
Il problema di $c_(00)$ è che esso, come spazio metrico, non è completo, nel senso che non tutte le successioni di Cauchy in $|\cdot |$ sono convergenti in $|\cdot|$: esempio classico, prendi la successione (di successioni):
$x^1:=(1,0,\ldots,0,\ldots),\ x^2:=(1,1/2,0,\ldots ,0,\ldots),\ x^3:=(1,1/2,1/3,0\ldots ,0,\ldots),\ \ldots ,x^m:=(1,1/3,\ldots,1/m,0,\ldots ,0,\ldots),\ \ldots$
la successione $(x^m)\subset c_(00)$ è di Cauchy in $|\cdot |$**, epperò $(x^m)$ non converge in $c_(00)$***.
Quindi, anche se strutturato come spazio normato (e quindi metrico e perciò separabile), $c_(00)$ non è "buono" per l'Analisi in quanto manca la completezza, ovvero non c'è la certezza che tutte le successioni di Cauchy convergano in $c_(00)$.
Si pone allora la questione: è possibile trovare uno spazio vettoriale normato e completo nel quale immergere isometricamente (ossia conservando la norma) $c_(00)$?
La risposta è sì e dico che tale spazio non solo esiste con le suddette proprietà, ma è anche caratterizzato dal fatto che $c_(00)$ è denso in tale spazio: questo spazio più grande in cui $c_(00)$ è immerso si chiama completamento di $c_(00)$ rispetto alla (metrica indotta dalla) norma.
La dimostrazione di questo risultato è lunga e faticosa (e te la risparmio), ma alla fine ti fornisce solo un modello astratto del completamento di $c_(00)$; quindi bisogna trovare un modello concreto per tale spazio.
Avrai capito da solo che il modello concreto del completamento di $c_(00)$ rispetto alla norma $|\cdot |$ è $l^2$ (dotato della sua norma naturale $||\cdot ||_2$): infatti:
1) $c_(00) \subseteq l^2$, in quanto ogni successione definitivamente nulla è a quadrato sommabile (la somma dei quadrati delle componenti non nulle di $x\in c_(00)$ è necessariamente finita);
2) $AA x\in c_(00),\ |x|=||x||_2$ (segue dalle definizioni delle norme);
3) $c_(00)$ è denso in $l^2$ rispetto alla norma $||\cdot||_2$.
Il risultato 3) è l'unico che bisogna dimostrare e, per acquisirlo, bisogna far vedere che $AA x \in l^2,\ exists (x^m)\subseteq c_(00):\ lim_m||x^m-x||_2= 0$.
Fissato $x=(x_n) \in l^2$ e facile far vedere che la successione di termine generale $x^m:=(x_1,\ldots ,x_m,0,\ldots ,0,\ldots)$ (che si ottiene troncando $x$ all'$m$-esimo elemento) è fatta da elementi di $c_(00)$ e converge ad $x$ in $||\cdot||_2$.****
Quindi ecco che abbiamo costruito lo spazio di Hilbert più gettonato, $l^2$, a partire da $c_(00)$ (strutturato solo come spazio vettoriale).
Lo spazio $l^2$ è ottimo per l'analista: infatti è uno spazio metrico completo (quindi vale il teorema di unicità del limite e si possono costruire successioni di Cauchy avendo la sicurezza che convergono); in più la norma è generata da un prodotto scalare proprio come in $RR^n$ (o $CC^n$), i funzionali lineari continui si rappresentano come in $RR^n$ (o $CC^n$) cioè col prodotto scalare, etc... Insomma ha tutte le proprietà degli spazi finito dimensionali ed anche qualcosa in più!
__________
* [size=75]Non farti ingannare, la sommatoria è fatta su un numero finito d'indici; il simbolo $\sum_(n=1)^(+oo)$ l'ho usato solo per comodità -altrimenti avrei dovuto trovare un nome per l'indice dell'ultimo elemento non nullo di $(x_n)$.[/size]
** [size=75]Infatti $|x^m-x^(m+p)|^2=\sum_(n=m+1)^(m+p)|x_n^(m+p)|^2=\sum_(n=m+1)^(m+p)1/n^2<\sum_(n=m+1)^(+oo) 1/n^2$ e la successione all'ultimo membro è infinitesima -in quanto successione dei resti d'una serie convergente.[/size]
*** [size=75]Per assurdo, supponiamo che esista $x=(x_n)\in c_(00)$ tale che $lim_m |x^m-x|=0$; detto $N \in NN$ l'indice dell'ultima componente non nulla di $x$ e preso $m>N$ si trova:
$|x^m-x|^2=\sum_(n=1)^(+oo)|x_n^m-x_n|^2>=\sum_(n=N+1)^(m) |x_n^m|^2=\sum_(n=N+1)^(m)1/n^2>1/(N+1)^2$
dalla quale, passando al limite per $m\to +oo$, consegue:
$0=lim_m |x^m-x|^2>=1/(N+1)^2>0$
il che è assurdo.[/size]
**** [size=75]Infatti $||x^m-x||_2^2=\sum_(n=m+1)^(+oo) |x_n|^2$, con la successione a secondo membro infinitesima -essendo successione dei resti della serie convergente $\sum_(n=1)^(+oo) |x_n|^2$.[/size]
Mmh... quindi mi dici che in realtà ciò che vogliamo "aggiungere" allo span degli ${x_n}$ set ortonormale in $X$ spazio a prodotto interno,
non è quello che avevo detto io, cioè la convergenza di tutte le somme parziali (che in maniera molto poco carina chiamavo combinazioni lineari infinite
), MA la completezza in sè, che ci serve ad esempio per lo studio di applicazioni che hanno quello spazio come dominio o codominio.
e quindi siamo arrivati alla definizione di spazio di Hilbert... mi sembra che torni
Quello a cui volevo arrivare, e che forse traspariva dal mio post precedente, era:
perchè non si può partire, nell'esposizione, dal concetto di base ortonormale e in sequenza il teorema dell'espansione in serie di Fourier, dato che poi tanti teoremi diventerebbero quasi banali da dimostrare...
credo però che non si faccia perchè in questo modo supporrei che la base ortonormale è numerabile, e se non la supponessi numerabile non la saprei invece trattare molto bene... o no?
Ora che ci penso ho appena detto una sciocchezza perchè per dimostrare il teorema dell'espansione in serie di fourier ho bisogno di alcuni risultati prima... altrimenti non ce la farei, o si?
non è quello che avevo detto io, cioè la convergenza di tutte le somme parziali (che in maniera molto poco carina chiamavo combinazioni lineari infinite
), MA la completezza in sè, che ci serve ad esempio per lo studio di applicazioni che hanno quello spazio come dominio o codominio.e quindi siamo arrivati alla definizione di spazio di Hilbert... mi sembra che torni
"Gugo82":
non so se ho colto il senso ultimo della tua domanda.
Quello a cui volevo arrivare, e che forse traspariva dal mio post precedente, era:
perchè non si può partire, nell'esposizione, dal concetto di base ortonormale e in sequenza il teorema dell'espansione in serie di Fourier, dato che poi tanti teoremi diventerebbero quasi banali da dimostrare...
credo però che non si faccia perchè in questo modo supporrei che la base ortonormale è numerabile, e se non la supponessi numerabile non la saprei invece trattare molto bene... o no?
Ora che ci penso ho appena detto una sciocchezza perchè per dimostrare il teorema dell'espansione in serie di fourier ho bisogno di alcuni risultati prima... altrimenti non ce la farei, o si?
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