Sulla locale misurabilità
Let \(\mathcal{M}\) a \(\sigma\)-algebra in \(\mathbb{R}^n\) containing the \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{B}_n\) of Borel subsets of \(\mathbb{R}^n\). We say that a set \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) is locally in \(\mathcal{M}\) if for every \(x \in A\) there is a nbhd \(U\) of \(x\) in \(\mathbb{R}^n\) such that \(A \cap U \in \mathcal{M}\). Prove that \(A\) is in \(\mathcal{M}\) iff \(A\) is locally in \(\mathcal{M}\).
Come spesso accade, la parte difficile è quella che permette di passare dal "particolare" al "generale", cioè \((\Longleftarrow)\) in questo caso. E' da un po' che ci penso, ma non sono riuscito a cavarne nulla - la prima idea che m'era venuta era quella di provare a scrivere \(A\) come unione dei \(A \cap U_{q}\) con \(U_q\) intorni associati ai \(q \in \mathbb{Q}\), ma per quanto ne so potrebbe pure essere \(A \cap \mathbb{Q} = \varnothing\)...
Qualche spunto?
Ringrazio.
Edit. Corretto un errore ortografico.
Risposte
Per ogni $x\in A$ hai $U_x$ tale che \( A \cap U_x \in \mathcal M\). Non funziona scrivere
\[
A=\bigcup_{x \in A} A\cap U_x?
\]
O forse era l'altra freccia che ti dava problemi?
\[
A=\bigcup_{x \in A} A\cap U_x?
\]
O forse era l'altra freccia che ti dava problemi?
"Paolo90":
Per ogni $x\in A$ hai $U_x$ tale che \( A \cap U_x \in \mathcal M\). Non funziona scrivere
\[
A=\bigcup_{x \in A} A\cap U_x?
\]
[...]
Quell'uguaglianza è certamente vera, ma non mi garantisce che \(A \in \mathcal{M}\): infatti in quanto \(\sigma\)-algebra, \(\mathcal{M}\) è chiusa per unioni numerabili, ma potrebbe anche essere che \(|A| > \aleph_0\)... O c'è qualcosa che non sto considerando?
Considera prima il caso in cui \(A\) è limitato.
Hai che \(\bigcup_{x\in A} U_x\) è un ricoprimento del compatto \(\overline{A}\)...
Hai che \(\bigcup_{x\in A} U_x\) è un ricoprimento del compatto \(\overline{A}\)...
Credo di aver capito: siccome \(A\) è limitato e \(A \subseteq \mathbb{R}^n\), \(\overline{A}\) è un compatto per il teorema di Heine-Borel; poiché si ha che \(\overline{A} \subseteq \bigcup_{x \in A} U_x\) (al momento però mi sfugge il perché - quel che so è che certamente \(A \subseteq \bigcup_{x \in A} U_x\)), per la compattezza posso estrarre un sottoricoprimento finito t.c. \(\overline{A} \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} U_{x_i} \). Ma allora \(A = \bigcup_{i=1}^{n} U_{x_i} \cap A\) e quindi \(A \in \mathcal{M}\).
Il caso \(A\) illimitato si dovrebbe poter sbrogliare ricordando che \(\mathbb{R} = \bigcup_{i=1}^{\infty} [-i,i]\), e sfruttando la compatteza degli \([-i,i]\) come si è fatto sopra.
Il caso \(A\) illimitato si dovrebbe poter sbrogliare ricordando che \(\mathbb{R} = \bigcup_{i=1}^{\infty} [-i,i]\), e sfruttando la compatteza degli \([-i,i]\) come si è fatto sopra.
"Delirium":
...(al momento però mi sfugge il perché - quel che so è che certamente \(A \subseteq \bigcup_{x \in A} U_x\))...
E' vero, scusa, hai ragione.
Per il resto il tuo ragionamento (fatto sulla mia premessa sbagliata) sarebbe stato corretto
Noooooo! Allora siamo daccapo 
Mi scuso per la mia risposta frettolosa ed errata. Ho dato un'occhiata al Royden, perché ricordavo di aver letto qualcosa su questa storia dei locally measurable sets. Ebbene, in §11.1 si dice che in uno spazio di misura $(X,M,\mu)$ un insieme $E \subset X$ è detto locally measurable se $E \cap B \in M$ per ogni $B$ di misura finita. Si dice poi che una misura è satura(ta?) se vale la tua equivalenza, cioè locally measurable iff measurable.
Alla luce di queste definizioni, è facile vedere ad esempio che ogni misura $\sigma$-finita è saturata (ti scrivi il tuo spazio ambiente come unione numerabile di insiemi di misura finita ed è praticamente fatta, basta prendere le intersezioni).
Ora direi che la definizione di Royden di local measurable implica la tua (prendendo una palla di centro $x$ che ha certamente misura finita); se riesci a provare anche il viceversa hai finito... ma sarà vero?
P.S. Ah, dimenticavo: ho assunto che sulla tua coppia $(X,M)$ ci sia una misura (e anche qua non so fino a che punto sia lecito per te...).
Alla luce di queste definizioni, è facile vedere ad esempio che ogni misura $\sigma$-finita è saturata (ti scrivi il tuo spazio ambiente come unione numerabile di insiemi di misura finita ed è praticamente fatta, basta prendere le intersezioni).
Ora direi che la definizione di Royden di local measurable implica la tua (prendendo una palla di centro $x$ che ha certamente misura finita); se riesci a provare anche il viceversa hai finito... ma sarà vero?
P.S. Ah, dimenticavo: ho assunto che sulla tua coppia $(X,M)$ ci sia una misura (e anche qua non so fino a che punto sia lecito per te...).
Ciao Paolo, ti ringrazio per la risposta.
In effetti non saprei, il testo dell'esercizio (che proviene da qui - n°12) è proprio quello lì + una seconda parte di facile derivazione dalla prima. Chiederò lumi al professore, e nel frattempo provo a dare un'occhiata al Folland per vedere se c'è qualche riferimento alla questione.
"Paolo90":
[...]
Ora direi che la definizione di Royden di local measurable implica la tua (prendendo una palla di centro $x$ che ha certamente misura finita); se riesci a provare anche il viceversa hai finito... ma sarà vero?
P.S. Ah, dimenticavo: ho assunto che sulla tua coppia $(X,M)$ ci sia una misura (e anche qua non so fino a che punto sia lecito per te...).
In effetti non saprei, il testo dell'esercizio (che proviene da qui - n°12) è proprio quello lì + una seconda parte di facile derivazione dalla prima. Chiederò lumi al professore, e nel frattempo provo a dare un'occhiata al Folland per vedere se c'è qualche riferimento alla questione.
Ma se $ A sube bigcup_{x in A} U_x$ esiste una sottofamiglia contabile $U_n$ tale che $A sube bigcup_n U_n$.
"DajeForte":
Ma se $ A sube bigcup_{x in A} U_x$ esiste una sottofamiglia contabile $U_n$ tale che $A sube bigcup_n U_n$.
Mi illumini maggiormente?
Infatti siete voi che mi dovreste illuminare sulla topologia...
C'è un teorema che ricordo dire che in R^n, per ogni famglia di insiemi aperti esiste una sottofamiglia contabile con la stessa unione.
Questo è risultato è attribuito a Lindelof.
Mi metto allo spulcio di internet e vedo che trovo.
C'è un teorema che ricordo dire che in R^n, per ogni famglia di insiemi aperti esiste una sottofamiglia contabile con la stessa unione.
Questo è risultato è attribuito a Lindelof.
Mi metto allo spulcio di internet e vedo che trovo.
Lindelöf's Lemma, direi. Ma non è stato trattato nel corso (e nemmeno in corsi precedenti), e quindi suppongo di doverne fare a meno (non credo sia in questa sede richiesto di intuirlo, dimostrarlo e poi utilizzarlo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo