Sulla limitatezza.

[lorandrum]

Come si dimostra che dato un insieme A di $R^n$, con $n>=2$, la cui frontiera è limitata, A o il suo complementare sono limitati?

[lorandrum]

Nessuno? .

[Sk_Anonymous]

Per assurdo, tanto $A$ quanto il suo complementare $A^c$ in $\mathbb{R}^n$ siano illimitati. Comunque scelto un $r > 0$, esistono allora $P \in A$ e $Q \in A^c$ tali che $min(d(0,P), d(O,Q))> r$, dove $O = (0, 0, ..., 0)$ e $d$ è l'usuale metrica euclidea. Eppure $\mathbb{R}^n\setminus B_r(O)$ è connesso per archi, se $B_r(O) = \{x \in \mathbb{R}^n: d(O,x) < r\}$. Sia dunque $(\gamma, \rho)$ una qualunque curva in $\mathbb{R}^n$ che connette $P$ a $Q$, dove $\rho: [0,1] \to \mathbb{R}^n$ è una parametrizzazione di $\gamma$ tale che $\rho(0) = P$ e $\rho(1) = Q$. E' facile allora dimostrare che esiste $x \in [0,1]$ per cui $\rho(x) \in bd(A)$, dove $bd(X)$ denota la frontiera di $X$ nella topologia metrica indotta da $d$ in $\mathbb{R}^n$, qual che sia $X \subseteq \mathbb{R}^n$. Senonché $bd(A) = bd(A^c)$. Da qui la conclusione che $bd(A)$ è un insieme illimitato. Assurdo!