Sulla fattorizzazione di funzioni in piu variabili
Mi sono trovato in difficoltà nella fattorizzazione di alcune funzioni in due variabili (mi sento un po un ebete per questo motivo) e purtroppo non posso studiarne il segno
$ 4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4 $
ho provato a fare ogni sorta di raccoglimento ma non riesco a saltarci fuori sinceramente
Spero che qualcuno possa spiegarmi un metodo solido per affrontare questo mio problema
$ 4x^4+y^4+5x^2y^2-8x^2-5y^2+4 $
ho provato a fare ogni sorta di raccoglimento ma non riesco a saltarci fuori sinceramente
Spero che qualcuno possa spiegarmi un metodo solido per affrontare questo mio problema
Risposte
Ti sei accorto che $x$ e $y$ compaiono solo con potenze pari? Cambia variabili: $X=x^2, Y=y^2$.
si però una volta sostituito non mi sembra piu fattorizzabile francamente
Mi pare di capire che stai studiando massimi e minimi della funzione (magari scrivere il problema originale non è un male, sai?) e, dai conti che ho fatto, credo tu abbia problemi a verificare cosa accade in $(0,0)$ (l'unico punto che, attraverso l'analisi dell'hessiana, non permette di concludere niente - gli altri quattro sono tutti minimi). Quello che ti serve, più che fattorizzare, è vedere se, da ogni direzione che si avvicini all'origine, la funzione si comporti sempre in modo crescente (e allora avrai un massimo) o decrescente (e allora avrai un minimo). Indichiamo con $y=m x$ una retta per l'origine (o se vuoi, parametricamente, con $x=a t,\ y=b t$) per cui $m$ (o il vettore $(a,b)$) determinano la direzione. Sostituendo si ha la funzione dipendente da $m$
$$F_m(x)=4x^4+m^4 x^4+5m^2 x^4-8x^2-5m^2 x^2+4=(m^4+5m^2+4)x^4-(8+5m^2)x^2+4$$
Dal momento che $f(0,0)=4$ quello che ci interessa è verificare se, per ogni $m$, risulti $F_m(x)-4\ge 0$ (o $\le 0$) per $x\in[-epsilon,\epsilon)$. Risolviamo la disequazione
$$(m^4+5m^2+4)x^4-(8+5m^2)x^2\ge 0$$
che si riscrive come
$$x^2(A^2 x^2-B^2)\ge 0$$
avendo posto $A^2=m^4+5m^2+4>0,\ B^2=8+5m^2>0$ per ogni scelta di $m$. Avendosi le due disequazioni $x^2\ge 0$ verificata per ogni $x$ e $A^2 x^2-B^2\ge 0$ verificata per $x\le -A/B,\ x\ge A/B$, possiamo concludere che per $x\in(-A/B, A/B)$ si abbia $F_m(x)-4<0$ per ogni $m$ (infatti per ogni scelta di $m$ il rapporto $A/B$ esiste ed è positivo), e quindi possiamo concludere che $F_m(x)<4$ per ogni $m$ e per ogni $x\in(-A/B, A/B)$. Ne segue che la funzione presenta in $(0,0)$ un massimo locale.
$$F_m(x)=4x^4+m^4 x^4+5m^2 x^4-8x^2-5m^2 x^2+4=(m^4+5m^2+4)x^4-(8+5m^2)x^2+4$$
Dal momento che $f(0,0)=4$ quello che ci interessa è verificare se, per ogni $m$, risulti $F_m(x)-4\ge 0$ (o $\le 0$) per $x\in[-epsilon,\epsilon)$. Risolviamo la disequazione
$$(m^4+5m^2+4)x^4-(8+5m^2)x^2\ge 0$$
che si riscrive come
$$x^2(A^2 x^2-B^2)\ge 0$$
avendo posto $A^2=m^4+5m^2+4>0,\ B^2=8+5m^2>0$ per ogni scelta di $m$. Avendosi le due disequazioni $x^2\ge 0$ verificata per ogni $x$ e $A^2 x^2-B^2\ge 0$ verificata per $x\le -A/B,\ x\ge A/B$, possiamo concludere che per $x\in(-A/B, A/B)$ si abbia $F_m(x)-4<0$ per ogni $m$ (infatti per ogni scelta di $m$ il rapporto $A/B$ esiste ed è positivo), e quindi possiamo concludere che $F_m(x)<4$ per ogni $m$ e per ogni $x\in(-A/B, A/B)$. Ne segue che la funzione presenta in $(0,0)$ un massimo locale.
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