Sulla disuguaglianza relativa alla convergenza di una successione

[Cagliostro1]

Salve a tutti,non riesco a trovare il modo di fare l'equivalenza

$ | an-l|
Sto riprendendo la matematica,dopo un po di anni di "fermo"....

Io opero,spostando $l$ nel modulo della differenza,al secondo membro e verrebbe fuori

$an
Ma $an>l-epsilon$.....non riesco a trovarlo
Credo bisogni utilizzare delle proprietà delle disuguaglianze che mi sfuggono,o no?
So che sia una cosa banalissima,ma nada

grazie per l'aiuto

[Mephlip]

Il modulo non è come una parentesi, non ha senso passare da $|a_n-l|<\varepsilon$ a $a_n<\varepsilon+l$ come se fosse una sottrazione di $l$ ambo i membri; vale invece passare da $|a| Ciò è dovuto al fatto che per definizione di modulo risulta
$$|a|=\begin{cases}
a, \text{se} \ a\geq0 \\
-a, \text{se} \ a<0
\end{cases}$$
Dunque nel caso della disuguaglianza $|a_n-l|<\varepsilon$ si ha
$$|a_n-l|<\varepsilon \Leftrightarrow
\begin{cases}
a_n-l<\varepsilon, \text{se} \ a_n-l \geq0 \\
-(a_n-l)<\varepsilon, \text{se} \ a_n-l <0
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
a_n a_n>l-\varepsilon, \text{se} \ a_n-l <0
\end{cases}$$
Quest'ultima si comprime in $l-\varepsilon

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[Cagliostro1]

Grazie mille per l'aiuto

Spiegazione chiarissima......quindi deriva dalla definizione di modulo

[Mephlip]

Prego! Esattamente, discende proprio dalla definizione di modulo.