Sulla definizione di Limite
Ciao a tutti.
Mi viene chiesta la definizione di Limite per:
\( \lim_{x\rightarrow -5} F(x) = -7\) (da sinistra, ma non ho trovato il modo di mettere un meno apice )
La versione sicuramente corretta data come soluzione è:
\( \forall \varepsilon > 0, \exists\delta>0 : \forall x \in R, -5-\delta < x< -5 \Rightarrow \mid F(x)+7\mid < \varepsilon \)
Mentre io ho scritto:
\( \forall \delta > 0, \forall x\in R ,\) \( -\delta -5< x< -5\Rightarrow \exists\varepsilon > 0 : \mid F(x)+7)\mid < \varepsilon \)
Mi è stato già detto che la seconda non è valida in quanto "ridondante'' e soprattutto in quanto ''perchè non so cosa è delta''.
Mi piacerebbe avere una spiegazione per quanto possibile esauriente e comprensibile del perchè la seconda non è accettabile.
Grazie in anticipo.
Mi viene chiesta la definizione di Limite per:
\( \lim_{x\rightarrow -5} F(x) = -7\) (da sinistra, ma non ho trovato il modo di mettere un meno apice )
La versione sicuramente corretta data come soluzione è:
\( \forall \varepsilon > 0, \exists\delta>0 : \forall x \in R, -5-\delta < x< -5 \Rightarrow \mid F(x)+7\mid < \varepsilon \)
Mentre io ho scritto:
\( \forall \delta > 0, \forall x\in R ,\) \( -\delta -5< x< -5\Rightarrow \exists\varepsilon > 0 : \mid F(x)+7)\mid < \varepsilon \)
Mi è stato già detto che la seconda non è valida in quanto "ridondante'' e soprattutto in quanto ''perchè non so cosa è delta''.
Mi piacerebbe avere una spiegazione per quanto possibile esauriente e comprensibile del perchè la seconda non è accettabile.
Grazie in anticipo.
Risposte
Fissiamo un qualsiasi $delta>0$ e applichiamo la tua definizione e dimostriamo che il limite è anche $-8$:
$|F(x)+8|<=|F(x)+7|+1
$|F(x)+8|<=|F(x)+7|+1
Grazie mille.
Credo di dover approfondire un bel po la situazione.
Credo di avere più o meno chiaro il concetto di limite, ma ho difficoltà a tradurlo in definizione.
In effetti non mi è neanche affatto chiaro perchè la tua dimostrazione valga, ne il percorso che hai fatto per scriverla e perchè confuti la scrittura.
Insomma ho da lavorare parecchio!!!
Credo di dover approfondire un bel po la situazione.
Credo di avere più o meno chiaro il concetto di limite, ma ho difficoltà a tradurlo in definizione.
In effetti non mi è neanche affatto chiaro perchè la tua dimostrazione valga, ne il percorso che hai fatto per scriverla e perchè confuti la scrittura.
Insomma ho da lavorare parecchio!!!
Tornando sul punto vi chiedo, e vi prego di perdonarmi per quello che vi sembrerà un abominio:
Non stando a guardare al linguaggio matematico ma al senso della definizione di Limite questa affermazione è corretta?:
\( \forall \varepsilon > 0, \) devo avere un valore di x non più distante da -5 di un Epsilon da sinistra, tale che l'immagine di x non dovrà distare da -7 per più di Epsilon.
Delta dunque diventa la traduzione di Epsilon sull'asse x, necessario ad esprimere il concetto che x deve essere scelto tanto vicino a -5 quanto Epsilon dal limite?
Se così fosse, dove vedo la relazione "dimensionale'' tra Epsilon e Delta in \( \forall \varepsilon > 0, \exists\delta>0 \) ?
Non stando a guardare al linguaggio matematico ma al senso della definizione di Limite questa affermazione è corretta?:
\( \forall \varepsilon > 0, \) devo avere un valore di x non più distante da -5 di un Epsilon da sinistra, tale che l'immagine di x non dovrà distare da -7 per più di Epsilon.
Delta dunque diventa la traduzione di Epsilon sull'asse x, necessario ad esprimere il concetto che x deve essere scelto tanto vicino a -5 quanto Epsilon dal limite?
Se così fosse, dove vedo la relazione "dimensionale'' tra Epsilon e Delta in \( \forall \varepsilon > 0, \exists\delta>0 \) ?
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