Sulla def. topologica di limite ??!!

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
riaffrontavo alcuni concetti di analisi più a livello topologico.. e per strano caso trovo una def. di limite estesa la quale risulta secondo il docente (autore del testo) "topologica", ovvero

siano dati \( f: \Bbb{R} \supseteq A \to \bar{\Bbb{R}}\), \(x_0\) un punto di accumulazione per \(A \). Si dice che \(l \in \bar{\Bbb{R}}\) è limite di \(f \) per \(x \to x_0\) se "per ogni intorni \(V\) di \(l\) esiste un intorno bucato \(U_\circ\) di \(x_0\) tale che per ogni \( x \in U_\circ \cap A\) risulti \(f(x) \in V\)"

a mio modesto e scarso parere non mi pare una definizione topologica di limite, non si capiscono le topologie del dominio e del codominio, in un altro testo all'apparenza migliore leggo che le topologie usuali sono quelle naturali e su questo diciamo che qualche paletto comincio a metterlo, non capisco però perchè non prendere direttamente \( A \subseteq \bar{\Bbb{R}}\) con la topologia naturale di \(\bar{\Bbb{R}}\) piuttosto che \(A \subseteq \Bbb{R}\) con la sua topologia naturale!?? .. anche perchè nelle definizioni di \(d\) punto di accumulazione di \( c \subseteq a \) con spazio topologico \((a,b)\) io leggo che \(d \) è elemento di \( a \) quindi mi sfugge qualcosa sul fatto di prendere, come per esempio fa l'autore del testo successivamente, \(x_0 \in \{+\infty,-\infty\}\) come punto di accumulazione di \(A \subseteq \Bbb{R}\).... ora sbaglio io a pensare o sbaglia il testo? e spero di non essere stato troppo frettoloso nel leggere! Ringrazio chiunque per qualsiasi delucidazione.

[vict85]

L’autore vuole studiare funzioni reali mentre aperti \(A\subseteq \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}\) potrebbero contenere l’infinito. Quindi quello che fa è considerare \(A\subseteq\mathbb{R} \) e la sua chiusura \(\overline{A}\subseteq\overline{\mathbb{R}}\) nei reali estesi. Dopo di che prende \(\displaystyle x_0 \in \overline{A}-\{\text{punti isolati di }A\} \). Dopo di che \(\displaystyle l \) è il limite se succede quello che hai scritto tu.

Penso comunque che per i limiti, in topologia, si tenda a preferire le teorie delle reti e dei filtri. Non sono un esperto di nessuna dei due.

[garnak.olegovitc1]

"vict85":L’autore vuole studiare funzioni reali mentre aperti \(A\subseteq \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}\) potrebbero contenere l’infinito. Quindi quello che fa è considerare \(A\subseteq\mathbb{R} \) e la sua chiusura \(\overline{A}\subseteq\overline{\mathbb{R}}\) nei reali estesi. Dopo di che prende \(\displaystyle x_0 \in \overline{A}-\{\text{punti isolati di }A\} \). Dopo di che \(\displaystyle l \) è il limite se succede quello che hai scritto tu.

thanks intanto della risposta .. ci penso un po sopra (anche se così a primo impatto mi pare che la fa troppo lunga.. devo capire meglio)
La definizione di limite topologico che uso, o che ho letto, intanto è la seguente:

Def.: siano dati \((A,\tau)\) e \( (C,\zeta)\) due spazi topologici, \( f \in \displaystyle C^E\) e \(x_0 \in A\), ove \( E \subseteq A \) e \( x_0\) punto di accumulazione per \(E \) (rispetto ad \((A,\tau)\)), un punto \( l \in C\) dicesi limite di \(f \) al tendere di \(x \) a \( x_0\) se $$\forall Y \in \displaystyle\mathcal{U}_{(C,\zeta)}(l) (\exists X \in \displaystyle\mathcal{U}_{(A,\tau)}(x_0)(f((X-\{x_0\} )\cap E) \subseteq Y))$$
P.S.=La notazione usata per la famiglia degli intorni è quella suggerita da j18eos qui

[dissonance]

Mio Dio garnak, ma fai davvero o scherzi? Queste sono pippe mentali allo stato puro.

[garnak.olegovitc1]

"dissonance":Mio Dio garnak, ma fai davvero o scherzi? Queste sono pippe mentali allo stato puro.

ti ringrazio intanto per la risposta; pippa (middleton) o non pippa , più che altro sto cercando di capire la def. topologica di un testo e la def. topologica di un altro, entrambe sono scritte sui testi ergo perchè mai dovrei scherzare? Leggendo qui, dopo una lunga ricerca, mi sembra di trovare conferma alla seconda definizione di limite topologico... noto con facilità che la classica def. di limite tra due spazi topologici con topologia indotta da metrica è un caso particolare della seconda definizione, e più che altro adesso vorrei capire se è possibile fare/vedere la stessa cosa con la prima (è un caso particolare della seconda? Ignorante come sono sto cercando ancora di capire il modo di vedere di vict85).. chiedo scusa a priori se il post è banale o totalmente inutile, cercavo di capire alcuni aspetti che leggevo in vari testi

[dissonance]

Ma si, è una baggianata. Aggiungendo i punti $\pm \infty$ a $\mathbb{R}$ e considerando le funzioni come definite in questo spazio "dei reali estesi" si beccano in un colpo solo tutti i limiti del calcolo classico, sia quelli "al finito" $x \to x_0$, sia quelli "all'infinito" $x\to \pm \infty$. Se servono solo limiti del primo tipo non occorre considerare i reali estesi.

P.S.: Non è che devi "chiedere scusa", non hai fatto niente di male. Ma è da un po' che noto questa tua tendenza a porre eccessiva enfasi su aspetti puramente formali. Se uno fa cosi' passa la vita a contemplare i simboli e non sviluppa mai nessuna vera idea.

[vict85]

Specialmente in topologia, aggiungerei, in cui può capitare di identificare spazi diversi tramite omeomorfismo e lavarare su uno o sull'altro a seconda di quale viene più comodo. Non che sia diverso in algebra astratta...