Sulla convergenza uniforme di una serie dove non c'è convergenza totale
A parte in casi particolari (in cui si è a conoscenza della successione delle somme parziali) e al di fuori degli intervalli in cui non c'è convergenza totale, non ci sono metodi generali per avere informazioni sulla convergenza uniforme di serie di funzioni. Ho però qui un esercizio svolto (non da me 
) nel quale si operano dei passaggi (punto 3) che non mi sono molto chiari e grazie ai quali si riesce a capire cosa fa la serie in questi intervalli di convergenza non totale. Lo riporto sperando che qualcuno riesca a capirli.
"Studiare la convergenza puntuale totale e uniforme di $ sum_(n = 1)^(oo)e^(nx)/n $ .
1) PUNTUALE
Per $ x>=0 $ la serie non converge puntualmente. Per $ x<0 $ per il criterio della radice ennesima $ lim_(n -> oo) (e^(nx)/n)^(1/n)=lim_(n -> oo) e^x /n^(1/n) =e^x < 1 $ c'è convergenza puntuale.
2) TOTALE
Si studia $ sum_(n = 1)^(oo)||e^(nx)/n||_oo $ per $ x in (-oo,0) $ .
$ ||e^(nx)/n||_oo = $ sup $ |e^(nx)/n| = 1/n $ e $ sum 1/n=+oo $ . Prendendo insiemi del tipo $ (-oo,-epsilon] $ , $ epsilon > 0 $ , per $ x<=epsilon
$ il sup $|e^(nx)/n|=e^(-n epsilon)/n $ e $ sum e^(-n epsilon)/n < +oo $.
Fin qui tutto ok.
3) UNIFORME
Si ha convergenza uniforme negli intervalli in cui c'è la totale, ma manca da controllare il pezzetto $ (-epsilon,0) $ . Considerando $ x in (-epsilon,0) $ i passaggi svolti sono:
sup $ |sum_(n = k)^(k+p)e^(nx)/n| $ $ >= $ $ 1/(k+p) $ sup $ (sum_(n = k)^(k+p)e^(nx)) $ $ >= $ $ (p+1)/(k+p) $ sup $ (e^((k+p)x)) = (p+1)/(k+p) $ e questo per $ p $ che va a $ oo $ tende a 1: non c'è convergenza uniforme."
Cosa si è fatto?
) nel quale si operano dei passaggi (punto 3) che non mi sono molto chiari e grazie ai quali si riesce a capire cosa fa la serie in questi intervalli di convergenza non totale. Lo riporto sperando che qualcuno riesca a capirli."Studiare la convergenza puntuale totale e uniforme di $ sum_(n = 1)^(oo)e^(nx)/n $ .
1) PUNTUALE
Per $ x>=0 $ la serie non converge puntualmente. Per $ x<0 $ per il criterio della radice ennesima $ lim_(n -> oo) (e^(nx)/n)^(1/n)=lim_(n -> oo) e^x /n^(1/n) =e^x < 1 $ c'è convergenza puntuale.
2) TOTALE
Si studia $ sum_(n = 1)^(oo)||e^(nx)/n||_oo $ per $ x in (-oo,0) $ .
$ ||e^(nx)/n||_oo = $ sup $ |e^(nx)/n| = 1/n $ e $ sum 1/n=+oo $ . Prendendo insiemi del tipo $ (-oo,-epsilon] $ , $ epsilon > 0 $ , per $ x<=epsilon
$ il sup $|e^(nx)/n|=e^(-n epsilon)/n $ e $ sum e^(-n epsilon)/n < +oo $.
Fin qui tutto ok.
3) UNIFORME
Si ha convergenza uniforme negli intervalli in cui c'è la totale, ma manca da controllare il pezzetto $ (-epsilon,0) $ . Considerando $ x in (-epsilon,0) $ i passaggi svolti sono:
sup $ |sum_(n = k)^(k+p)e^(nx)/n| $ $ >= $ $ 1/(k+p) $ sup $ (sum_(n = k)^(k+p)e^(nx)) $ $ >= $ $ (p+1)/(k+p) $ sup $ (e^((k+p)x)) = (p+1)/(k+p) $ e questo per $ p $ che va a $ oo $ tende a 1: non c'è convergenza uniforme."
Cosa si è fatto?
Risposte
In quei passaggi si è verificato che la serie non soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, che è condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme di una serie.
Grazie Rigel 
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