Sulla convergenza forte e debole in $L^2$

[Paolo902]

Problema. Sia $(E_n)_n$ una successione di insiemi misurabili, con $E_n \subset [0,1]$ per ogni $n$ e sia $E \subset [0,1]$ misurabile tale che
\[
\chi_{E_n} \rightharpoonup \chi_E \qquad \text{ in } L^2([0,1])
\]
dove $\chi_A$ denota la funzione caratteristica dell'insieme $A$. Mostrare che $\chi_{E_n} \to \chi_E$ fortemente in $L^2([0,1])$.

Temo, al solito, di averla fatta troppo semplice. Mi date conferma, per favore?

L'ipotesi, alla luce del Teorema di rappresentazione di Riesz, si può scrivere come
\[
\forall f \in L^2([0,1]): \int_{[0,1]} f\chi_{E_n} \to \int_{[0,1]}f \chi_E
\]
i.e.
\[
\forall f \in L^2([0,1]): \int_{E_n} f \to \int_{E} f
\]

In particolare, scegliendo come $f \equiv 1$ (che è certamente $L^2$) ottengo che $\mu(E_n) \to \mu(E)$ cioè
\[
\Vert \chi_{E_n} \Vert_2 \to \Vert \chi_E \Vert_2.
\]

E' risaputo ora che questa è una condizione sufficiente, insieme alla convergenza debole, affinché ci sia convergenza forte (se non ricordo male bastava ancora meno, c'era una disuguaglianza con il limsup della successione delle norme - e si sfruttava in qualche modo l'uniforme convessità).

Grazie.

[Rigel1]

La dimostrazione mi sembra corretta.
Volendo, si può fare in maniera più diretta senza fare uso del teorema che citi alla fine.
Scegliendo \(f = \chi_{E^C}\) si deduce infatti che \(\mu(E_n\setminus E) \to 0\); poiché \(\mu(E_n)\to \mu(E)\) questo implica che \(\mu(E_n\cap E) \to \mu(E)\) e dunque anche \(\mu(E\setminus E_n) \to 0\).
In conclusione, la misura della differenza simmetrica \(E_n \Delta E\) tende a \(0\); ciò equivale alla convergenza forte delle funzioni caratteristiche.

[Paolo902]

Grazie mille; prima o poi dovrò sdebitarmi per tutto il tuo aiuto.