Sulla classificazione dei punti stazionari
Buonasera a tutti, questo è il mio primo messaggio, spero di non sbagliare troppe cose fin da subito.
Premetto che non ho grandi conoscenze di matematica e che sto preparando l'esame di analisi matematica 2 in un corso ingegneristico (abbiate pietà se non sarò preciso
).
Nello specifico vorrei porre alla vostra attenzione la funzione $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ di legge:
\[
f(x,\,y,\,z) := x^2-y^2+z^3
\] la quale è molto mansueta, in particolare non presenta problemi di derivabilità, pertanto è presto calcolato il vettore gradiente, il quale si annulla solo in $(0,0,0)$ e quindi questo è l'unico punto stazionario per $f$.
A sua volta, risulta possibile calcolare anche la matrice hessiana in tale punto, ottenendo:
\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\] che come qualsiasi matrice triangolare ha gli autovalori sulla diagonale principale: $2$, $-2$, $0$.
Pertanto, dato che sono presenti almeno due autovalori di segno discorde si tratta di una matrice indefinita.
Il fatto che la matrice sia indefinita mi porta a concludere che $(0,0,0)$ sia punto stazionario ma né punto di minimo relativo, né punto di massimo relativo per $f$ e fin qui, a meno di vostre smentite, dovrebbe filare.
I dubbi nascono però da questo momento in poi. Nella fattispecie, finché si tratta di una funzione in due variabili è indubbio che l'essere indefinita implica che l'hessiano non sia nullo (nella fattispecie è sicuramente negativo) e quindi quello appena studiato sia un punto di sella (o di colle, che dir si voglia).
D'altro canto, in dimensioni superiori, tipo in questo caso, seppur la matrice hessiana sia indefinita mi trovo in un caso con hessiano nullo e in Wikipedia ho letto che in questo caso il test dell'hessiana non sia conclusivo, fallisca. D'altro canto, consultando due libri consigliati nel mio corso:
- Analisi matematica, Volume 2 - Pagani, Salsa - Masson;
- Analisi matematica - Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - McGraw-Hill;
non si fanno molti problemi nel distinguere punti stazionari degeneri e non degeneri, affermano semplicemente che se l'hessiana è indefinita quello è un punto di sella (o di colle, che dir si voglia).
Pertanto io sono in confusione: a chi devo credere?
Grazie per la pazienza e scusate per il papiro.
Premetto che non ho grandi conoscenze di matematica e che sto preparando l'esame di analisi matematica 2 in un corso ingegneristico (abbiate pietà se non sarò preciso
).Nello specifico vorrei porre alla vostra attenzione la funzione $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ di legge:
\[
f(x,\,y,\,z) := x^2-y^2+z^3
\] la quale è molto mansueta, in particolare non presenta problemi di derivabilità, pertanto è presto calcolato il vettore gradiente, il quale si annulla solo in $(0,0,0)$ e quindi questo è l'unico punto stazionario per $f$.
A sua volta, risulta possibile calcolare anche la matrice hessiana in tale punto, ottenendo:
\[
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\] che come qualsiasi matrice triangolare ha gli autovalori sulla diagonale principale: $2$, $-2$, $0$.
Pertanto, dato che sono presenti almeno due autovalori di segno discorde si tratta di una matrice indefinita.
Il fatto che la matrice sia indefinita mi porta a concludere che $(0,0,0)$ sia punto stazionario ma né punto di minimo relativo, né punto di massimo relativo per $f$ e fin qui, a meno di vostre smentite, dovrebbe filare.
I dubbi nascono però da questo momento in poi. Nella fattispecie, finché si tratta di una funzione in due variabili è indubbio che l'essere indefinita implica che l'hessiano non sia nullo (nella fattispecie è sicuramente negativo) e quindi quello appena studiato sia un punto di sella (o di colle, che dir si voglia).
D'altro canto, in dimensioni superiori, tipo in questo caso, seppur la matrice hessiana sia indefinita mi trovo in un caso con hessiano nullo e in Wikipedia ho letto che in questo caso il test dell'hessiana non sia conclusivo, fallisca. D'altro canto, consultando due libri consigliati nel mio corso:
- Analisi matematica, Volume 2 - Pagani, Salsa - Masson;
- Analisi matematica - Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - McGraw-Hill;
non si fanno molti problemi nel distinguere punti stazionari degeneri e non degeneri, affermano semplicemente che se l'hessiana è indefinita quello è un punto di sella (o di colle, che dir si voglia).
Pertanto io sono in confusione: a chi devo credere?
Grazie per la pazienza e scusate per il papiro.
Risposte
Veramente, almeno in questo caso, non è nemmeno necessario studiare la matrice hessiana e procedere meccanicamente. Infatti, il fatto che l'origine non possa essere un punto di minimo o massimo relativo è piuttosto evidente a priori, visto che, essendo:
necessariamente:
Tra l'altro, queste considerazioni possono anche aiutare a risolvere i propri dubbi autonomamente.
$[f(0,0,0)=0] ^^ [f(0,0,z)=z^3]$
necessariamente:
$[z lt 0] rarr [f(0,0,z) lt f(0,0,0)]$
$[z gt 0] rarr [f(0,0,z) gt f(0,0,0)]$
Tra l'altro, queste considerazioni possono anche aiutare a risolvere i propri dubbi autonomamente.
Grazie mille per il gentile intervento, apprezzo moltissimo l'osservazione che ho già provveduto ad annotare negli appunti, sicuramente preziosa. Ciò è a conferma della prima metà del post iniziale, ossia che il punto stazionario in questione è né di minimo relativo, né di massimo relativo, con il vantaggio che in questo modo mi sarei evitato un po' di conti; rimane da sbrogliare la seconda metà del post.
Nel frattempo mi sono letto vari interventi fatti in questo forum nel corso degli anni e da quello che ho capito il problema di fondo è che non c'è una definizione universale di "punto di sella": per alcuni sono solo quei punti che rendono indefinita la matrice hessiana (ammesso sia calcolabile e in tal caso sarebbe a conferma del punto stazionario in esame), per altri sono più genericamente tutti quei punti in cui lungo due restrizioni distinte vi sia rispettivamente un minimo relativo e un massimo relativo, per altri ancora sono indistintamente tutti i punti né di minimo relativo, né di massimo relativo, anche se quest'ultima mi sembra improponibile ...
Quindi, volendo tirare le fila, stando a quanto indicato nella risposta ricevuta e nelle informazioni raccolte qui e là nel forum direi che il punto stazionario in esame sia un punto di sella, oppure sto facendo una grande confusione? Può benissimo essere, non mi sento sicuro di quello che ho assimilato fino ad ora ... tant'è che volendo considerare un'altra funzione, addirittura a sole due variabili, $g(x,y) = x^2-y^3$, non saprei individuare due restrizioni, una con un punto di minimo e una una con un punto di massimo nell'origine.
Inoltre, a creare un po' di confusione in me (ma ripeto, è colpa della mia scarsa conoscenza, non di coloro che hanno risposto nel forum) è stato questo post dove, oltre ai punti di sella, si parla anche di punti di flesso ... può essere che non ne abbia mai sentito parlare se non nel corso di analisi matematica 1 nell'ambito delle funzioni reali in una variabile reale?
Grazie per la pazienza, buona giornata!
Nel frattempo mi sono letto vari interventi fatti in questo forum nel corso degli anni e da quello che ho capito il problema di fondo è che non c'è una definizione universale di "punto di sella": per alcuni sono solo quei punti che rendono indefinita la matrice hessiana (ammesso sia calcolabile e in tal caso sarebbe a conferma del punto stazionario in esame), per altri sono più genericamente tutti quei punti in cui lungo due restrizioni distinte vi sia rispettivamente un minimo relativo e un massimo relativo, per altri ancora sono indistintamente tutti i punti né di minimo relativo, né di massimo relativo, anche se quest'ultima mi sembra improponibile ...
Quindi, volendo tirare le fila, stando a quanto indicato nella risposta ricevuta e nelle informazioni raccolte qui e là nel forum direi che il punto stazionario in esame sia un punto di sella, oppure sto facendo una grande confusione? Può benissimo essere, non mi sento sicuro di quello che ho assimilato fino ad ora ... tant'è che volendo considerare un'altra funzione, addirittura a sole due variabili, $g(x,y) = x^2-y^3$, non saprei individuare due restrizioni, una con un punto di minimo e una una con un punto di massimo nell'origine.
Inoltre, a creare un po' di confusione in me (ma ripeto, è colpa della mia scarsa conoscenza, non di coloro che hanno risposto nel forum) è stato questo post dove, oltre ai punti di sella, si parla anche di punti di flesso ... può essere che non ne abbia mai sentito parlare se non nel corso di analisi matematica 1 nell'ambito delle funzioni reali in una variabile reale?
Grazie per la pazienza, buona giornata!
non c'è una definizione universale di "punto di sella"
Esatto! È solo una questione di definizioni.
una con un punto di minimo e una una con un punto di massimo
Ma non è quello il punto. Il punto è che la tua funzione assume sia valori positivi sia valori negativi in qualsiasi intorno dell'origine. Quindi l'origine non può essere né un massimo né un minimo. Qualcuno dirà che è una sella, qualcuno no, ma queste sono solo sottigliezze.
punti di flesso
Questa invece è una nozione che si applica solo a funzioni reali di una variabile reale.
Condivido by heart quanto detto da dissonance sulla definizione di punto di sella.
Volendo limitarci alla definizione LOCALE per funzioni di "n" variabili reali, si ha:
Breve commento a questa immagine molto illustrativa
Nel cerchietto "sella" ci stanno per tutti le funzioni con hessiana indefinita.
Nel cerchietto "non sella" ci stanno per tutti le funzioni per le quali il punto designato è di max o min locale
Nell'area "dipende" ci stanno vari fenomeni, di cui i principali due direi che sono questi:
- funzioni che nel punto hanno un min locale lungo una retta e max locale lungo un'altra
- funzioni che nel punto hanno un min locale lungo una curva (di che razza?) e max locale lungo un'altra
Naturalmente si hanno variopinte richieste rispetto alla regolarità della funzione
Se qualcuno ha da aggiungere o togliere qualcosa in ognuna delle regioni indicate, ben venga.
NB: in teoria dei giochi questa roba non interessa.
Data $f:A\timesB \to RR$, si parla di punto di sella globale, che sia di min globale rispetto ad $A$ e max globale rispetto a $B$ (o viceversa, naturalmente).
NB: su $A$ e $B$ non c'è nessuna struttura.
Volendo limitarci alla definizione LOCALE per funzioni di "n" variabili reali, si ha:
Breve commento a questa immagine molto illustrativa
Nel cerchietto "sella" ci stanno per tutti le funzioni con hessiana indefinita.
Nel cerchietto "non sella" ci stanno per tutti le funzioni per le quali il punto designato è di max o min locale
Nell'area "dipende" ci stanno vari fenomeni, di cui i principali due direi che sono questi:
- funzioni che nel punto hanno un min locale lungo una retta e max locale lungo un'altra
- funzioni che nel punto hanno un min locale lungo una curva (di che razza?) e max locale lungo un'altra
Naturalmente si hanno variopinte richieste rispetto alla regolarità della funzione
Se qualcuno ha da aggiungere o togliere qualcosa in ognuna delle regioni indicate, ben venga.
NB: in teoria dei giochi questa roba non interessa.
Data $f:A\timesB \to RR$, si parla di punto di sella globale, che sia di min globale rispetto ad $A$ e max globale rispetto a $B$ (o viceversa, naturalmente).
NB: su $A$ e $B$ non c'è nessuna struttura.
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