Sulla base di cosa possiamo dire che un punto è massimo o minimo assoluto?

[Lightmind]

Considerata una funzione in due variabili a valori reali. Supponiamo che questa funzione sia definita in un insieme aperto non limitato, come capita per l'insieme di definizione del logaritmo. Dopo aver verificato che questa funzione ammette un estremo relativo, avendo visto grazie alle condizioni sufficienti che si tratta di massimo relativo, sulla base di cosa possiamo dire che questo è un punto di massimo assoluto?
Dopo aver osservato che non sono verificate le ipotesi del teorema di Weierstrass né quelle del principio del massimo per una funzione armonica, cosa posso dire su questo punto?
Non ho altre idee, aspetto di confrontarle con le vostre.

[gio73]

"Lightmind":Considerata una funzione in due variabili a valori reali. Supponiamo che questa funzione sia definita in un insieme aperto non limitato, come capita per l'insieme di definizione del logaritmo.

Puoi scrivere la funzione per favore?

[gugo82]

Ti basta ragionare né più né meno di come ragioneresti per funzioni di una variabile.

[Lightmind]

{\(\displaystyle f(x,y)=log(x^2y(x-y+1))\)}

[gugo82]

Ti pare che una funzione del genere possa avere estremi assoluti?

[Lightmind]

Lo so, anche io ho dato un'occhiata per vedere come è fatta! Però come lo giustifico? Non posso certo dire 'mi pare che non ne abbia ', né tantomeno posso mettermi a disegnarla in un compito...

[gio73]

Personalmente comincerei col farmi qualche idea:
disegnare il dominio, valutare come si comporta in prossimità della frontiera, fare lo studio del segno (se ci riesco), scegliere qualche direzione appropriata e vedere come si comporta...

[Zero87]

"Lightmind":Lo so, anche io ho dato un'occhiata per vedere come è fatta! Però come lo giustifico? Non posso certo dire 'mi pare che non ne abbia ', né tantomeno posso mettermi a disegnarla in un compito...

Io in genere faccio funzionare la vista (so che anche gio73 - che ovviamente saluto! - in molti casi fa così).

Se fissi $y=1$, ottieni
$f(x,1)=log(x^3)$ che non ha massimo/minimo assoluto al variare di $x$ (va da $-\infty$ per $x->0$ a $+\infty$ per $x->+\infty$, quindi abbraccia l'intero spettro reale).
Da questo deduci che la funzione non ha un massimo assoluto dato che quella che ho preso è un sottocaso della funzione iniziale e varia da $-\infty$ a $+\infty$...

[gio73]

Ottimo Zero! Approvo la tua idea, sentiamo cosa ci dice gugo.

Anche io ti saluto e ti confesso che in questo periodo di esami provo un po' di delusione.

[gugo82]

Ma certo, ragazzi...

L'argomento del logaritmo è una funzione che può benissimo tendere sia a \(+\infty\) sia a \(0^+\) scegliendo bene una restrizione; ergo il logaritmo di quella roba lì non può avere né massimo né minimo assoluti, in quanto un'opportuna restrizione tende a \(+\infty\) da un lato ed a \(-\infty\) dall'altro.

"A occhio" rulez, in questi casi.

[Lightmind]

Grazie mille a tutti per la disponibilità