Sul polinomio di Taylor con resto di Peano
Ciao a tutti 
Volevo chiedere una curiosità che mi è venuta in mente sul resto secondo Peano.
Per quello che so, il resto di Peano, rappresentato da $o((x-x_0)^n)$, indica l'errore che commettiamo approssimando una funzione con il polinomio di Taylor: più grande è il grado di approssimazione $n$, meglio il polinomio approssima la funzione in un intorno di $x_0$ e minore dunque è l'errore di approssimazione. Tale errore quindi, per definizione, tende a $0$ più o meno velocemente (a seconda del valore $n$) senza però effettivamente essere $0$.
Ora mettiamo che io voglia calcolare (per un non meglio specificato motivo) il polinomio di Taylor in $x_0=1$ della funzione $f(x)=x^3$. Facendo i conti:
$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+1/2f''(1)(x-1)^2 + 1/6 f'''(1)(x-1)^3 + o((x-1)^3)=$
$=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3+ o((x-1)^3)=$
$= x^3 + o((x-1)^3)$
E' ovvio che, calcolando sino al grado della funzione, riottengo con Taylor $x^3$, però ho ora anche un "errore" che sì tende a $0$, ma non è $0$, quando in realtà la funzione è "perfettamente approssimata" (è la stessa...) da Taylor; tuttavia, se mi fossi fermato a $n=2$ il resto avrebbe ancora avuto un senso.
Poiché il resto di Peano indica un errore di approssimazione, e poiché qui tale errore non dovrebbe esserci (non c'è!), significa che il resto di Peano è stato qui usato impropriamente, oppure semplicemente la mia domanda non ha senso?
Volevo chiedere una curiosità che mi è venuta in mente sul resto secondo Peano.
Per quello che so, il resto di Peano, rappresentato da $o((x-x_0)^n)$, indica l'errore che commettiamo approssimando una funzione con il polinomio di Taylor: più grande è il grado di approssimazione $n$, meglio il polinomio approssima la funzione in un intorno di $x_0$ e minore dunque è l'errore di approssimazione. Tale errore quindi, per definizione, tende a $0$ più o meno velocemente (a seconda del valore $n$) senza però effettivamente essere $0$.
Ora mettiamo che io voglia calcolare (per un non meglio specificato motivo) il polinomio di Taylor in $x_0=1$ della funzione $f(x)=x^3$. Facendo i conti:
$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+1/2f''(1)(x-1)^2 + 1/6 f'''(1)(x-1)^3 + o((x-1)^3)=$
$=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3+ o((x-1)^3)=$
$= x^3 + o((x-1)^3)$
E' ovvio che, calcolando sino al grado della funzione, riottengo con Taylor $x^3$, però ho ora anche un "errore" che sì tende a $0$, ma non è $0$, quando in realtà la funzione è "perfettamente approssimata" (è la stessa...) da Taylor; tuttavia, se mi fossi fermato a $n=2$ il resto avrebbe ancora avuto un senso.
Poiché il resto di Peano indica un errore di approssimazione, e poiché qui tale errore non dovrebbe esserci (non c'è!), significa che il resto di Peano è stato qui usato impropriamente, oppure semplicemente la mia domanda non ha senso?
Risposte
All'ordine zero:
$[P(x)=1] rarr [R(x)=x^3-1]$
Al prim'ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)]$
Al secondo ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)-3(x-1)^2]$
Al terz'ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)-3(x-1)^2-(x-1)^3=0]$
Voglio dire, il resto ha sempre senso. Al terz'ordine vale identicamente zero.
$[P(x)=1] rarr [R(x)=x^3-1]$
Al prim'ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)]$
Al secondo ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)-3(x-1)^2]$
Al terz'ordine:
$[P(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3] rarr [R(x)=x^3-1-3(x-1)-3(x-1)^2-(x-1)^3=0]$
Voglio dire, il resto ha sempre senso. Al terz'ordine vale identicamente zero.
Ok, grazie per il chiarimento speculor
Faccio osservare che anche ciò fatto da Brancaleone è corretto, il resto espresso in forma di Peano resta come $o((x-1)^3)$. Questo fatto dà l'opportunità di fare un'osservazione importante: la scrittura $o((x-1)^3)$ non indica una funzione particolare che tende a $0$ più velocemente di $(x-1)^3$ quando $x\to 1$, ma indica, teoricamente, tutta la classe di funzioni con questa proprietà, e la funzione nulla, che è la funzione "esatta" in quanto resto, in questo caso specifico, soddisfa ovviamente questa proprietà.
"Luca.Lussardi":
Faccio osservare che anche ciò fatto da Brancaleone è corretto, il resto espresso in forma di Peano resta come $o((x-1)^3)$
Concordo pienamente. Bene hai fatto a precisare. In effetti, il mio intervento poteva sembrare una controaffermazione.
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