Sul dominio di una funzione implicita.
Buona sera, ragazzi. Avrei bisogno di un vostro aiuto su questo esercizio:
"data la funzione $f(x,y)=y^5+log((x+y)/2)-xy : {(x,y)in R^2, x+y>0}=A ->R$ dimostrare che l'equazione $f(x,y)=0$ definisce un'unica funzione implicita avente per dominio un intervallo di centro il punto $x=1$. Quindi dire se tale punto è punto di estremo relativo, precisandone eventualmente la natura".
Sinora sono arrivato al punto di dimostrare che esiste un'unica funzione implicita; infatti:
$f(x,y) $ è continua e ha derivate parziali prime continue:
$f'_x=2/(x+y)-y$
$f'_y=5y^4+2/(x+y)-x$
Per dimostare esistenza ed unicità della funz. implicita è bastato osservare che:
$f'_y>0$ per ogni (x,y) appartenente all'insieme A.
Inoltre si ha:
$lim_(y->-oo) f(x,y)=-oo$
$lim_(y->+oo) f(x,y)=+oo$ la qual cosa mi porta a dire che $y->f(x,y)$ è crescente in R. Pertanto esiste ed è unica $f(x,phi(x))=0$
Tuttavia, non so se questo possa bastare per la verifica dell'esistenza unica della funz. implicita con dominio un intervallo di centro il punto x=1.
Sapreste dirmi come fare a provare ciò?
vi ringrazio
Alex
"data la funzione $f(x,y)=y^5+log((x+y)/2)-xy : {(x,y)in R^2, x+y>0}=A ->R$ dimostrare che l'equazione $f(x,y)=0$ definisce un'unica funzione implicita avente per dominio un intervallo di centro il punto $x=1$. Quindi dire se tale punto è punto di estremo relativo, precisandone eventualmente la natura".
Sinora sono arrivato al punto di dimostrare che esiste un'unica funzione implicita; infatti:
$f(x,y) $ è continua e ha derivate parziali prime continue:
$f'_x=2/(x+y)-y$
$f'_y=5y^4+2/(x+y)-x$
Per dimostare esistenza ed unicità della funz. implicita è bastato osservare che:
$f'_y>0$ per ogni (x,y) appartenente all'insieme A.
Inoltre si ha:
$lim_(y->-oo) f(x,y)=-oo$
$lim_(y->+oo) f(x,y)=+oo$ la qual cosa mi porta a dire che $y->f(x,y)$ è crescente in R. Pertanto esiste ed è unica $f(x,phi(x))=0$
Tuttavia, non so se questo possa bastare per la verifica dell'esistenza unica della funz. implicita con dominio un intervallo di centro il punto x=1.
Sapreste dirmi come fare a provare ciò?
vi ringrazio
Alex
Risposte
Per dimostare esistenza ed unicità della funz. implicita è bastato osservare che:
$f'_y >0$ per ogni (x,y) appartenente all'insieme A.
Se provi $y=0$ e $x=2$ ti accorgi che non è vero. Però sarebbe sufficiente se riuscissi a provare che $f'_y >0$ in un intorno di $x=1$.
ti ringrazio robbstark! Avevi perfettamente ragione.
Alex
Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo