Sul criterio di Leibnitz
Salve a tutti, ho un dubbio sul criterio di Leibnitz sulla convergenza delle serie alternate:
in poche parole non sono sicuro se va bene anche $(-1)^(n+1)$ a moltiplicare davanti alla serie decrescente e infinitesima.
A occhio credo di si perchè ha lo stesso carattere di $(-1)^n$ però non saprei non mi pare una cosa rigorosa,
anche perchè il teorema non generalizza a "tutte" le funzioni di segno alterno.
Oppure potremmo semplicemente osservare che $(-1)^(n+1)=-(-1)^n$, che diciamo si avvicina di più alla forma canonica di Leibnitz...
Non so aiutatemi voi...
in poche parole non sono sicuro se va bene anche $(-1)^(n+1)$ a moltiplicare davanti alla serie decrescente e infinitesima.
A occhio credo di si perchè ha lo stesso carattere di $(-1)^n$ però non saprei non mi pare una cosa rigorosa,
anche perchè il teorema non generalizza a "tutte" le funzioni di segno alterno.
Oppure potremmo semplicemente osservare che $(-1)^(n+1)=-(-1)^n$, che diciamo si avvicina di più alla forma canonica di Leibnitz...
Non so aiutatemi voi...
Risposte
Certo che va bene, semplicemente la somma avrà un risultato diverso. Ma se ti interessa solo il carattere, il criterio di Leibnitz chiede solo l'alternanza dei segni come ipotesi. (Oltre alla monotonia e alla convergenza a 0 del termine generale).
Grazie della celere risposta.
Allora se va bene questa generalizzazione possiamo usare anche per esempio sinx se lo abbiamo oppure cosx o qualsiasi funzione oscillante??
Allora se va bene questa generalizzazione possiamo usare anche per esempio sinx se lo abbiamo oppure cosx o qualsiasi funzione oscillante??
Hey no non esagerare! Ho detto alternanza di segni, cioè se inizi a scrivere ogni termine della somma uno deve avere segno meno e quello successivo più. Se ci metti seni e coseni i segni vanno sempre un po' a caso. Sicuramente cambiano, ma non si alternano!
Ok alternanza dei segni....
me lo ricorderò.
L'auito prezioso paga lo spirito di chi lo dona.
Saluti
me lo ricorderò.
L'auito prezioso paga lo spirito di chi lo dona.
Saluti
Nota: Una cosa può essere utile tenere presente quando si risolvono esercizi con Leibniz è che qualche volta non si trova esplicitamente scritto [tex]$(-1)^n$[/tex].
Potrebbe comparire una cosa del tipo: [tex]$cos(\pi n) = (-1)^n$[/tex].
Potrebbe comparire una cosa del tipo: [tex]$cos(\pi n) = (-1)^n$[/tex].
Giusto una precisazione sulla questione dei seni e coseni 
Una serie del tipo $\sum_{n=0}^{\infty} (\sin n) a_n$, con $a_n$ infinitesima e monotona decrescente, è convergente. (Risultato analogo vale se si usa $\cos n$ al posto di $\sin n$).
Questo si può dimostrare usando il criterio basato sulla formula di sommazione per parti.
Una serie del tipo $\sum_{n=0}^{\infty} (\sin n) a_n$, con $a_n$ infinitesima e monotona decrescente, è convergente. (Risultato analogo vale se si usa $\cos n$ al posto di $\sin n$).
Questo si può dimostrare usando il criterio basato sulla formula di sommazione per parti.
Ma Leibnitz ci era arrivato?
Rigel non è che potresti rimandarmi alla dimostrazione? Grazie.
Rigel non è che potresti rimandarmi alla dimostrazione? Grazie.
"Rigel":
Giusto una precisazione sulla questione dei seni e coseni
Una serie del tipo $\sum_{n=0}^{\infty} (\sin n) a_n$, con $a_n$ infinitesima e monotona decrescente, è convergente. (Risultato analogo vale se si usa $\cos n$ al posto di $\sin n$).
Questo si può dimostrare usando il criterio basato sulla formula di sommazione per parti.
Molto interessante... Mi accodo alla richiesta di Giuly.
Grazie.
Intanto ricordo il criterio in questione, che si può trovare ad esempio sul Rudin o sul Pagani-Salsa.
Consideriamo adesso il caso $b_n = e^{i n}$, con $(a_n)$ soddisfacente 2).
La successione $(b_n)$ soddisfa 1). Infatti
$B_n = \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}$, da cui $|B_n| \le \frac{2}{|1-e^i|}$ per ogni $n$.
Di conseguenza, per il criterio citato, avremo che $\sum a_n b_n$ è convergente.
Basta adesso notare che $(\sin n) a_n$ e $(\cos n) a_n$ sono rispettivamente parte immaginaria e parte reale di $e^{i n} a_n$.
Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni tali che
1) $(b_n)$ è a valori complessi, ed esiste $M>0$ tale che $|B_n| \le M$ per ogni $n$, dove $B_n := \sum_{k=0}^n b_k$;
2) $(a_n)$ è a valori reali, infinitesima e monotona decrescente.
Allora la serie $\sum_n a_n b_n$ è convergente.
Consideriamo adesso il caso $b_n = e^{i n}$, con $(a_n)$ soddisfacente 2).
La successione $(b_n)$ soddisfa 1). Infatti
$B_n = \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}$, da cui $|B_n| \le \frac{2}{|1-e^i|}$ per ogni $n$.
Di conseguenza, per il criterio citato, avremo che $\sum a_n b_n$ è convergente.
Basta adesso notare che $(\sin n) a_n$ e $(\cos n) a_n$ sono rispettivamente parte immaginaria e parte reale di $e^{i n} a_n$.
"Rigel":Questo mi pare si chiami criterio di Abel, vero Rigel? Su questo argomento mi ricordo una discussione tra Gugo e Amel di un po' di tempo fa:
Intanto ricordo il criterio in questione, che si può trovare ad esempio sul Rudin o sul Pagani-Salsa.
Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni tali che
1) $(b_n)$ è a valori complessi, ed esiste $M>0$ tale che $|B_n| \le M$ per ogni $n$, dove $B_n := \sum_{k=0}^n b_k$;
2) $(a_n)$ è a valori reali, infinitesima e monotona decrescente.
Allora la serie $\sum_n a_n b_n$ è convergente.
https://www.matematicamente.it/forum/ban ... 46523.html
L'ho visto anche io citato come criterio di Abel (anche se personalmente non gli assegno alcun nome); penso che questo dipenda dal fatto che la dimostrazione è per certi versi simile a quella del teorema di Abel sulle serie di potenze (entrambe le dimostrazioni sono basate sulla formula di sommazione per parti).
"dissonance":
[quote="Rigel"] ...
Questo mi pare si chiami criterio di Abel, vero Rigel? [/quote]
Io lo conoscevo come criterio di Dirichlet (bisogna cliccare ancora sulla prima voce, non so perché ma non mi accettava l'url intero).
Mi era stato spiegato dal professore quando gli avevo chiesto come studiare [tex]\displaystyle \sum \frac{\sin n}{n}[/tex].
P.S: Rigel i tuoi post sono sempre interessantissimi! Grazie
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