Sui punti critici funizoni in due variabili.
Sono uno studente di matematica con un dubbio ma, prima di chiedere voglio dare, quindi riassumo brevemente l'artgomento in oggetto: Ricerca dei punti critici non vincolati di una funzione di due variabili.
Data tale funzione ne cerchiamo i punti in cui il piano tangente è parallelo al piano xy. Tale piano è il gradiente di f,
\( \nabla f=(\frac{\partial^{}f}{\partial x}, \frac{\partial^{}f}{\partial y}) \) .
Come detto cerchiamo i punti (x,y) tali che il gradiente si annulli dunque \( \nabla f=0 \) .
Risolto il sistema che ne scaturisce individuo i punti critici cercati, per stabilirne la natura calcolo il termine successivo dello sviluppo di Taylor della funzione, infatti \( f(x,y)=f+\nabla f+1/2!|y|H|y| \) esamino allora la matrice hessiana :
\( H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial xx} & \frac{\partial^{2}f}{\partial xy} \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial yx} & \frac{\partial^{2}f}{\partial yy} \end{pmatrix} \)
Il calcolo degli autovalori di tale matrice indica la natura del punto critico esaminato:
autovalori positivi MIN
autovalori negativi MAX
un autovalore positivo e uno negativo SELLA
Se ho degli autovalori nulli non posso concludere alcunchè, potrei calolare il determinante della matrice hessiana e verificare il segno di \( \frac{\partial^{2}f}{\partial xx} \) \( \Longrightarrow \)
det(H)<0 SELLA
derivata seconda positiva MIN
det(H)>0
derivata seconda negativa MAX
det(H)=0 nessuna determinazione possibile
Con quanto detto è evidente che l'unico caso in cui non riusciamo ad identificare la natura del punto critico è quando gli autovalori della matrice hessiana sono nulli, così come il determinate. In tal caso è necessario analizzare il terzo termine dell'espansione di Taylor che dovrebbe corrispondere a \( (1/2!)\overrightarrow{y}[H(a+cy)-H(a)]\overrightarrow{y} \) ma non ho idea di come analizzarne il segno, cioè posso applicare qualcosa di simile al teorema per le derivate successive per le funzioni in una variabile al determinante di quell'espressione o..???
Spero qualcuno chiarisca i miei dubbi
!!
Data tale funzione ne cerchiamo i punti in cui il piano tangente è parallelo al piano xy. Tale piano è il gradiente di f,
\( \nabla f=(\frac{\partial^{}f}{\partial x}, \frac{\partial^{}f}{\partial y}) \) .
Come detto cerchiamo i punti (x,y) tali che il gradiente si annulli dunque \( \nabla f=0 \) .
Risolto il sistema che ne scaturisce individuo i punti critici cercati, per stabilirne la natura calcolo il termine successivo dello sviluppo di Taylor della funzione, infatti \( f(x,y)=f+\nabla f+1/2!|y|H|y| \) esamino allora la matrice hessiana :
\( H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial xx} & \frac{\partial^{2}f}{\partial xy} \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial yx} & \frac{\partial^{2}f}{\partial yy} \end{pmatrix} \)
Il calcolo degli autovalori di tale matrice indica la natura del punto critico esaminato:
autovalori positivi MIN
autovalori negativi MAX
un autovalore positivo e uno negativo SELLA
Se ho degli autovalori nulli non posso concludere alcunchè, potrei calolare il determinante della matrice hessiana e verificare il segno di \( \frac{\partial^{2}f}{\partial xx} \) \( \Longrightarrow \)
det(H)<0 SELLA
derivata seconda positiva MIN
det(H)>0
derivata seconda negativa MAX
det(H)=0 nessuna determinazione possibile
Con quanto detto è evidente che l'unico caso in cui non riusciamo ad identificare la natura del punto critico è quando gli autovalori della matrice hessiana sono nulli, così come il determinate. In tal caso è necessario analizzare il terzo termine dell'espansione di Taylor che dovrebbe corrispondere a \( (1/2!)\overrightarrow{y}[H(a+cy)-H(a)]\overrightarrow{y} \) ma non ho idea di come analizzarne il segno, cioè posso applicare qualcosa di simile al teorema per le derivate successive per le funzioni in una variabile al determinante di quell'espressione o..???
Spero qualcuno chiarisca i miei dubbi
!!
Risposte
spero nessuno si offenda se uppo... ma se qualcuno mi illuminasse mi convincerei che qualcuno in sto forum lo sa 
visto che qui me la canto e me la suono, finisco anche il discorso:
Nel caso sopra esposto ci troviamo con una matrice semidefinita, questo significa che in una determinata direzione (x oppure y) non ho informazioni su crescenza e decrescenza della funzione.
Data però l'informazione relativa all'autovalore noto posso escludere una tipologia di punto critico (massimo o minimo) per accertarmi che il punto in questione sia quindi una sella o meno fisso la variabile nella cui direzione ho già l'informazione e analizzo lo sviluppo di Taylor in una variabile della funzione ottenuta fissando (ordinata o ascissa) nel punto critico
es. se il punto critico è (1,2) e la matrice hesiana è semidefinita positiva per x allora sviluppo taylor per f(1,y).
Spesso è utile verificare anche nella direzione della bisettrice per cui x=y e svolgere la consueta analisi con Taylor per f(y,y).
Mi scuso ma quest'ulitma parte è incompleta e poco precisa, ma vuol solo essere una soluzione che trovo fattibile al problema che ( mi ) causava guai!!
e in bocca al lupo che è periodo di appelli di Analisi2 !!
Nel caso sopra esposto ci troviamo con una matrice semidefinita, questo significa che in una determinata direzione (x oppure y) non ho informazioni su crescenza e decrescenza della funzione.
Data però l'informazione relativa all'autovalore noto posso escludere una tipologia di punto critico (massimo o minimo) per accertarmi che il punto in questione sia quindi una sella o meno fisso la variabile nella cui direzione ho già l'informazione e analizzo lo sviluppo di Taylor in una variabile della funzione ottenuta fissando (ordinata o ascissa) nel punto critico
es. se il punto critico è (1,2) e la matrice hesiana è semidefinita positiva per x allora sviluppo taylor per f(1,y).
Spesso è utile verificare anche nella direzione della bisettrice per cui x=y e svolgere la consueta analisi con Taylor per f(y,y).
Mi scuso ma quest'ulitma parte è incompleta e poco precisa, ma vuol solo essere una soluzione che trovo fattibile al problema che ( mi ) causava guai!!
e in bocca al lupo che è periodo di appelli di Analisi2 !!
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