Sui Massimi e minimi vincolati, valutarli.
Ciao ragazzi, poiché mi sembra di aver sbagliato sezione e di essere stato piuttosto confuso, vi ripropongo qui il mio quesito, cercando di esporlo meglio. 
Si cercano massimi e minimi vincolati su un intervallo non limitato:
$ f(x,y)=y−(x−1)^2$
$⊂x^2+y≤1$
Dall'analisi con Lagrange risulta un unico candidato, A = (1/2, 3/4).
Il prof., per verificare che il punto sia o no un max, lavora sull'intorno del punto, con una procedura che mi sfugge.
Esprime il vincolo in funzione dell'intorno del punto:
$(1/2+h)2+(3/4+k)≤1$
e calcola il ∆ tra la quota di un punto dell'intorno e la quota del punto A, così:
$∆=[(3/4+k)-((1/2+h)-1)^2]-(1/2)=h−h^2+k$
Poi da qui, mi sfugge il procedimento logico. Il prof. sembra dire che questo ∆ debba essere < 0 se il punto è un massimo, rispettando contemporaneamente il vincolo...? Ho capito bene?
Il prof. conclude spiegando che "...se ora sfruttiamo il vincolo scritto in precedenza e lo immettiamo in ∆Af(h,k), otteniamo che ∆Af(h,k) ≤−2h2 < 0 per ogni h diverso da 0..."
Ma non mi sembra che il ragionamento fili...? Non so se mi sono spiegato.
Si cercano massimi e minimi vincolati su un intervallo non limitato:
$ f(x,y)=y−(x−1)^2$
$⊂x^2+y≤1$
Dall'analisi con Lagrange risulta un unico candidato, A = (1/2, 3/4).
Il prof., per verificare che il punto sia o no un max, lavora sull'intorno del punto, con una procedura che mi sfugge.
Esprime il vincolo in funzione dell'intorno del punto:
$(1/2+h)2+(3/4+k)≤1$
e calcola il ∆ tra la quota di un punto dell'intorno e la quota del punto A, così:
$∆=[(3/4+k)-((1/2+h)-1)^2]-(1/2)=h−h^2+k$
Poi da qui, mi sfugge il procedimento logico. Il prof. sembra dire che questo ∆ debba essere < 0 se il punto è un massimo, rispettando contemporaneamente il vincolo...? Ho capito bene?
Il prof. conclude spiegando che "...se ora sfruttiamo il vincolo scritto in precedenza e lo immettiamo in ∆Af(h,k), otteniamo che ∆Af(h,k) ≤−2h2 < 0 per ogni h diverso da 0..."
Ma non mi sembra che il ragionamento fili...? Non so se mi sono spiegato.
Risposte
Invece fila...quale proprietà deve avere un punto di massimo?...
Provo a spiegarmi, grazie Vulplasir.
Mi sembra corretto dire che un punto di massimo deve avere una quota maggiore di ogni altro punto in un determinato intorno, quindi che la differenza tra le quote dei punti nell'intorno e la sua debba essere negativa, sbaglio?
E mi pare che sia un po' il ragionamento che segue anche il prof.?
Ma quali sono i passaggi per formalizzarlo...? Cioè, come arrivo a scrivere: ∆Af(h,k) ≤−2h2 < 0 ?
So che il quesito sembra sciocco ma ho l'impressione di capirlo solo a metà...
Mi sembra corretto dire che un punto di massimo deve avere una quota maggiore di ogni altro punto in un determinato intorno, quindi che la differenza tra le quote dei punti nell'intorno e la sua debba essere negativa, sbaglio?
E mi pare che sia un po' il ragionamento che segue anche il prof.?
Ma quali sono i passaggi per formalizzarlo...? Cioè, come arrivo a scrivere: ∆Af(h,k) ≤−2h2 < 0 ?
So che il quesito sembra sciocco ma ho l'impressione di capirlo solo a metà...
In un intorno di quel punto si scrive: $x=1/2+h$, $y=3/4+k$, esprimi il vincolo $x^2+y=1$ in funzione di h e k, e sostituiscilo in $Delta<0$
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