Sui limiti
se ho:
1) una funzione f della variabile x
2) una variabile t che non è legata in alcun modo con la variabile x
ha senso calcolare il segente limite
$\lim_{t \rightarrow c} f(x)$
ove c è uno dei possibili valori assumibili da t
1) una funzione f della variabile x
2) una variabile t che non è legata in alcun modo con la variabile x
ha senso calcolare il segente limite
$\lim_{t \rightarrow c} f(x)$
ove c è uno dei possibili valori assumibili da t
Risposte
"WiZaRd":
se ho:
1) una funzione f della variabile x
2) una variabile t che non è legata in alcun modo con la variabile x
ha senso calcolare il segente limite
$\lim_{t \rightarrow c} f(x)$
ove c è uno dei possibili valori assumibili da t
cioe vuoi dire che f e' costante rispetto alla varianbile c ?
cioe' il valore di c non influenza il valore di f?
se e' cosi', allora non ha molto senso pratico calcolarlo, tuttavia vale ovviamente f(x)
voglio dire che per t che si "avvicina" a c non è possibile stabilire come si comporta la funzione perchè non è possibile legare x a t
sei sicuro che faccia f(x)? se non sbaglio (è probabile che lo faccia) il limite per definizione lega un intorno della variabile con cui si effettua il passaggio al limite con un intorno dei valori della f(x): se non posso legare t con x non posso neanche legare t con f(x) e quindi nemmeno un intorno di t con un intorno della f(x)...dove ho sbagliato?
sei sicuro che faccia f(x)? se non sbaglio (è probabile che lo faccia) il limite per definizione lega un intorno della variabile con cui si effettua il passaggio al limite con un intorno dei valori della f(x): se non posso legare t con x non posso neanche legare t con f(x) e quindi nemmeno un intorno di t con un intorno della f(x)...dove ho sbagliato?
aspetta...posso considerare $f(x)$ come $t^0 \cdot f(x)$, in questo modo $f(x)$ è una costante il cui valore è di volta in volta definito dagli $x \in D$ ove $D$ è il dominio di $f$. è giusto questo ragionamento?
non ha alcun senso quel calcolo.
C'è però una maniera per dargli senso. Basta pensare ad una funzione di due variabili
$f(x,t)$, nella fattispecie costante in $t$. Per fare il limite però devi anche assegnare una convergenza
nella variabile $x$. Cioè puoi fare il limite $(x,t)->(x_0,t_0)$. Ovviamente, sotto ipotesi di continuità
in $x$, questo limite vale proprio $f(x_0,t_0)$.
C'è però una maniera per dargli senso. Basta pensare ad una funzione di due variabili
$f(x,t)$, nella fattispecie costante in $t$. Per fare il limite però devi anche assegnare una convergenza
nella variabile $x$. Cioè puoi fare il limite $(x,t)->(x_0,t_0)$. Ovviamente, sotto ipotesi di continuità
in $x$, questo limite vale proprio $f(x_0,t_0)$.
per ubermensch...sono all'ultimo anno di lice quindi quello che dici non lo comprendo....puoi almeno dirmi se il mio ragionamento "maccheronico" è corretto o mi sono flesciato?
so che non è questa la sezione che mi compete per postare dato che non faccio l'univeristà, ma è leggendo dei compiti di esonero universitari che mi so venuti sti dubbi....
"WiZaRd":
se ho:
1) una funzione f della variabile x
2) una variabile t che non è legata in alcun modo con la variabile x
ha senso calcolare il segente limite
$\lim_{t \rightarrow c} f(x)$
ove c è uno dei possibili valori assumibili da t
sì, ha senso e vale $f(x)$, proprio per la ipotesi che tu formuli e cioè che non ci sia nessun legame fra $t$ ed $x$ (a dire il vero, non è necessario dirlo: se un tale legame esistesse uno sarebbe tenuto a dirlo, quindi chi tace automaticamente fa intendere che il legame non esiste)
sia chiaro, sto assumendo che $t,c,x$ siano variabili reali (non è essenziale: $x$ potrebbe variare anche fra le capre... ed acnhe $t,c$ potrebbero variare in un ambiente diverso da quello dei numeri reali)
"WiZaRd":
aspetta...posso considerare $f(x)$ come $t^0 \cdot f(x)$, in questo modo $f(x)$ è una costante il cui valore è di volta in volta definito dagli $x \in D$ ove $D$ è il dominio di $f$. è giusto questo ragionamento?
l'hai scritta la risposta! per fare quel limite devi fissare la $x\in D$ ... è quello che avevo scritto io in maniera più tecnica.
Ad esempio puoi fissare $x=x_0$ e dire che il limite è $f(x_0)$ (in realtà c'è il problema che serve la contuità di $f$ nel punto $x_0$)
"Fioravante Patrone":
sì, ha senso e vale $f(x)$
non sono d'accordo Fioravante. O meglio, sarei d'accordo se fossimo nell'ambito di limiti
di successioni di funzioni o cose simili. Credo che quello che si aspetta Wizard è un limite
classico, insomma un numero reale e non una funzione. Per far questo occorre fissare
anche una $x$, o meglio fare un limite di una funzione di due variabili.
è chiaro poi che le cose un pò si equivalgono ... ricordiamoci però che Wizard è uno studente
di liceo.
intendevo dire che, per me, $\lim_{t \to 3} \sin x$ ha senso e vale $\sin x$ (lasciami aggiungere, perché sennò mi sento a disagio senza specificare dove prendo le variabili, che $t$ e $x$ sono variabili reali)
condivido il tuo ragionamento, che è come se avessi $\phi(t,x)$ e facessi il lim per $t \to 3$ di questa funzione di due variabili, "tenendo fissa la $x$"
condivido il tuo ragionamento, che è come se avessi $\phi(t,x)$ e facessi il lim per $t \to 3$ di questa funzione di due variabili, "tenendo fissa la $x$"
solo un'ultima cosa: non sono molto sicuro di quello che sto per dire, ma dare questo senso al limite è possibile se è possibile "lavorare" in $\mathbb{R^3}$ mentre se si deve rimanere confinati obbligatoriamente in $\mathbb{R^2}$ non ha senso....giusto?
"Fioravante Patrone":
intendevo dire che, per me, $\lim_{t \to 3} \sin x$ ha senso e vale $\sin x$ (lasciami aggiungere, perché sennò mi sento a disagio senza specificare dove prendo le variabili, che $t$ e $x$ sono variabili reali)
condivido il tuo ragionamento, che è come se avessi $\phi(t,x)$ e facessi il lim per $t \to 3$ di questa funzione di due variabili, "tenendo fissa la $x$"
A mio modesto parere la cosa e' piu' semplice: $lim_{t \to c} f (x) = lim_{t \to c} \Phi (t)$ dove $\Phi (t)$ e' costante a $f (x)$ (ovviamente quel limite vale $f (x)$).
"WiZaRd":
solo un'ultima cosa: non sono molto sicuro di quello che sto per dire, ma dare questo senso al limite è possibile se è possibile "lavorare" in $\mathbb{R^3}$ mentre se si deve rimanere confinati obbligatoriamente in $\mathbb{R^2}$ non ha senso....giusto?
Spiego meglio quanto sopra:
chiedevo questo: per vedere la funzione nell'argomento del limite come una funzione in due variabili ($x$ e $t$) bisogna supporre che la funzione in questione sia definibile da $\mathbb{R}x\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ($f: \mathbb{R}x \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$): giusto?
"Sandokan.":
[quote="Fioravante Patrone"]intendevo dire che, per me, $\lim_{t \to 3} \sin x$ ha senso e vale $\sin x$ (lasciami aggiungere, perché sennò mi sento a disagio senza specificare dove prendo le variabili, che $t$ e $x$ sono variabili reali)
condivido il tuo ragionamento, che è come se avessi $\phi(t,x)$ e facessi il lim per $t \to 3$ di questa funzione di due variabili, "tenendo fissa la $x$"
A mio modesto parere la cosa e' piu' semplice: $lim_{t \to c} f (x) = lim_{t \to c} \Phi (t)$ dove $\Phi (t)$ e' costante a $f (x)$ (ovviamente quel limite vale $f (x)$).[/quote]
per sandokan: perdona il mio dubbio, ma se la variabile $t$ non è in alcun modo legabile alla variabile $x$ allora non posso porre $\phi(t)=f(x)$ perchè in questo modo legherei la $t$ alla $x$....sei d'accordo?
"WiZaRd":
per sandokan: perdona il mio dubbio, ma se la variabile $t$ non è in alcun modo legabile alla variabile $x$ allora non posso porre $\phi(t)=f(x)$ perchè in questo modo legherei la $t$ alla $x$....sei d'accordo?
Non sono d'accordo, mi dispiace. Dire ''la variabile $t$ non è in alcun modo legabile alla variabile $x$'' non ha senso (rigorosamente parlando), perche' la funzione $\phi$ definita da $\phi(t)=f(x)$ esiste in ogni caso.
"Sandokan.":
[quote="WiZaRd"]per sandokan: perdona il mio dubbio, ma se la variabile $t$ non è in alcun modo legabile alla variabile $x$ allora non posso porre $\phi(t)=f(x)$ perchè in questo modo legherei la $t$ alla $x$....sei d'accordo?
Non sono d'accordo, mi dispiace. Dire ''la variabile $t$ non è in alcun modo legabile alla variabile $x$'' non ha senso (rigorosamente parlando), perche' la funzione $\phi$ definita da $\phi(t)=f(x)$ esiste in ogni caso.[/quote]
per sandokan: ma nella funzione $\phi(t)=f(x)$ la variabile $t$ non si esprime in funzione della variabile $x$, bensì è l'immagine di $t$ tramite la $\phi$ che si esprime in funzione di $f(x)$ dove $f(x)$ è una costante...giusto?
Esatto!
sempre per sandokan: ma allora, se alla fine ottieni una costante che dipende però dal valore di $x$, non stai dicendo la stessa cosa di ubermensch e fioravante?
sbaglio o alla fine l'immagine costruita tramite $\phi$ oltre a essere funzione di $t$ (perchè si è detto $\phi(t)$) è anche funzione di $x$?
o meglio, stai semplificando quello che dicono ubermensch e fioravante (fermo restando che quello che loro dicone è corretto)?
sbaglio o alla fine l'immagine costruita tramite $\phi$ oltre a essere funzione di $t$ (perchè si è detto $\phi(t)$) è anche funzione di $x$?
o meglio, stai semplificando quello che dicono ubermensch e fioravante (fermo restando che quello che loro dicone è corretto)?
"WiZaRd":
sempre per sandokan: ma allora, se alla fine ottieni una costante che dipende però dal valore di $x$, non stai dicendo la stessa cosa di ubermensch e fioravante?
o meglio, stai semplificando quello che dicono ubermensch e fioravante (fermo restando che quello che loro dicone è corretto)?
Certo, quello che dice Fioravante e' corretto (e come potrebbe non esserlo?), pero' non c'e' bisogno di scomodare le funzioni di due variabili.
"WiZaRd":
sbaglio o alla fine l'immagine costruita tramite $\phi$ oltre a essere funzione di $t$ (perchè si è detto $\phi(t)$) è anche funzione di $x$?
No, qui sbagli nel senso che $x$ deve essere fissato nel momento in cui calcoli quel limite (ovviamente questo non ti impedisce di considerare una funzione $x \mapsto lim_{t\to c} f(x)$ che poi banalmente coincide con la $f$).
ok...
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