Sui funzionali lineare limitati di uno spazio di $Hilbert$

[randomize]

Sia $H$ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale sul campo $K$ e sia $B$ una sua base, nel senso che $H=bar(span(B))$

Sia inoltre $f : H rightarrow K$ un funzionale lineare di $H$

Sapendo che $f(B)$ è limitato, si può affermare che $f$ è un funzionale lineare limitato?

[Rigel1]

"randomize":Sia $H$ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale sul campo $K$ e sia $B$ una sua base, nel senso che $H=bar(span(B))$

Sia inoltre $f : H rightarrow K$ un funzionale lineare di $H$

Sapendo che $f(B)$ è limitato, si può affermare che $f$ è un funzionale lineare limitato?

Direi di no.
Prendi ad esempio\(H = \ell^2(\mathbb{R})\), \(b_i = \frac{1}{i} e_i\), \(e_i = \delta_{i,k}\), \(f(x) = \sum_i i\, x_i\).

[randomize]

Scusami Rigel, non mi sono spiegato bene , dicendo "$f(B)$ è limitato" intendo dire "$f(B)$ visto come sottoinsieme di $K$ è limitato", mentre con "$f$ è un funzionale lineare limitato" intendo visto come norma di $f$, ovvero $||f||=Sup(abs(f(v))/||v||)

Cita

Segnala

[Rigel1]

"randomize":Scusami Rigel, non mi sono spiegato bene , dicendo "$f(B)$ è limitato" intendo dire "$f(B)$ visto come sottoinsieme di $K$ è limitato", mentre con "$f$ è un funzionale lineare limitato" intendo visto come norma di $f$, ovvero $||f||=Sup(abs(f(v))/||v||)

Sì, avevo capito.
Se non ho sbagliato, si ha che \(f(b_i) = f( e_i / i) = 1\) per ogni \(i\), dunque \(f(B)\) è limitato.
D'altra parte \(f(e_i) = i\) per ogni \(i\), dunque \(f\) non è un funzionale lineare limitato.