Sugli zeri di una funzione di una variabile complessa

[Sk_Anonymous]

Un interessante lemma reca:

Sia \(D \subseteq \mathbb{C}\) un aperto, e sia \(f : D \to \mathbb{C}\) una funzione olomorfa. Per \(c \in D\) sono equivalenti:
(i) \(c\) è un punto di accumulazione di \(Z(f) = \{z \in D \, : \, f(z) = 0\}\);
(ii) \(c\) è contenuto nell'interno topologico di \(Z(f)\);
(iii) Si ha \(f^{(n)} (c) = 0\) per ogni \(n=0,1,2,3, \dots\).

Inoltre, se \(D\) è anche connesso, allora \(f\) è identicamente nulla su tutto \(D\) se e solo se \(Z(f)\) ha almeno un punto di accumulazione appartenente a \(D\).

Vorrei provare l'ultima equivalenza (dall' "Inoltre" in poi): si può mostrare (lo assumo noto) che l'insieme \(S\) dei punti di accumulazione è un chiuso; il lemma di sopra mostra anche che tale insieme è l'interno di \(Z(f)\), e che quindi è aperto in \(D\). Ne segue che esso è vuoto, oppure è una componente connessa di \(D\) (questo dovrebbe essere perché in uno spazio localmente connesso le componenti connesse sono anche aperte). Sia ora \(f\) identicamente nulla su tutto \(D\); in particolare \(f(z)=0\) per un certo \(z \in D \). Siccome \(D\) è aperto, \(z\) appartiene all'interno di \(Z(f)\), e quindi ne è un punto di accumulazione. Viceversa sia \(z\) un punto di accumulazione di \(Z(f) \subseteq D \). Siccome \(S\) è non vuoto, deve essere una componente connessa di \(D\); ma \(D\) è connesso per ipotesi, quindi sarà \(S = D\), donde la tesi. Torna?

Ringrazio.

[ViciousGoblin]

Direi che torna, anche se non capisco il discorso sulle componenti connesse (se $S$ è un sottoinsieme aperto è chiuso di
$D$ non è detto che sia una componente connessa di $D$ -- ma questo non serve). Ti rifaccio il discorso come lo vedo io.

Poniamo $S:=\{x\in D: x \mbox{ è di accumulazione per }Z(f)\}$. Concordo che $S$ è chiuso in $D$ per un fatto generale (usando opportune diagonalizzazioni). Inoltre $S$ è aperto dato che se $x_0\in S$, per la (ii), $x_0$ è interno a $Z(f)$ e dunque
è interno a $S$ (perchè i punti interni sono automaticamente di accumulazione, e dunque interni ai punti di accumulazione). Se sai che $Z(f)$ ha almeno un punto di accumulazione $S$ è aperto è chiuso e non vuoto -- se $D$ è connesso ne segue $S=D$. (infatti la definizione di connesso è proprio che gli unici insiemi aperti e chiusi sono il vuoto e l'insieme stesso). D'altra parte è ovvio che $S\subset Z(f)\subset D$, dunque $D=Z(f)=S$. Il viceversa è ovvio come hai detto tu (sempre usando il fatto che i punti interni sono automaticamente di accumulazione).

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, ho preso un piccolo abbaglio (e non è il primo che abbia a che fare con la Topologia Generale, in questi giorni ). Ti ringrazio!

[dissonance]

Carissimo VG! Da quanto tempo non ci si "incrociava" sul forum! Per festeggiare l'accaduto, ecco una fastidiosa domanda da pignolo rompiscatole:

"ViciousGoblin":(se $S$ è un sottoinsieme aperto e chiuso di
$D$ non è detto che sia una componente connessa di $D$ -- ma questo non serve).

E perché? Se $S$ non è vuoto, è aperto ed è pure chiuso, allora come fa a non essere una componente connessa? Mi sfugge...

[ViciousGoblin]

Mi pare che se $X$ ha tre componenti connesse $X_1$, $X_2$ e $X_3$, allora $X_1\cup X_2$ è aperto e chiuso ma non è una componente
connessa .... Fuori dal controesempio, quello che manca è che $S$ sia connesso.

Fa piacere anche a me incontrarti di nuovo, anche se frequento raramente il forum (di solito quando mi arriva la notifica di qualche messaggio nuovo su un vecchio thread). Nel giochino testuale primi anni ottanta (lo Hobbit) da cui ho preso il nick, dopo qualche minuto di inattività, passava irrimediabilmente la scritta "time passes" .... Ciao