Sugli autovalori di Dirichlet
Consideriamo il problema agli autovalori di Dirichlet per il solito operatore $-u''$:
\[
\begin{cases} -u'' = \lambda u \\
u(0)=0=u(1)
\end{cases}
\]
Facendo i conti, cioè risolvendo l'equazione esplicitamente e imponendo le condizioni al contorno, troviamo la successione di autovalori $\lambda_k=(\pi k)^2$ a cui corrispondono le autofunzioni $\sin(k\pi x)$, al variare di $k \in \mathbb N$.
La domanda è: come facciamo ad essere sicuri che quelli trovati sono tutti gli autovalori? Forse c'è qualcosa che mi perdo, ma non riesco a concludere in maniera "elementare". L'unica cosa che mi viene in mente è: le autofunzioni trovate (opportunamente normalizzate) costituiscono un sistema ortonormale completo (cioè una base hilbertiana) di $L^2(0,1)$ (è vero, no? Simmetrizzo per disparità su $(-1,0)$ e sviluppo con Fourier in soli seni). Quindi non possono esserci altre autofunzioni perché "non c'è più spazio". Ma ci sono altri modi per concludere? C'è qualche teorema di unicità relativo alle soluzioni dell'equazione?
Questa è la prima parte della domanda che ho in mente; se vi va, chiarito questo punto, procederò con la seconda parte, che riguarda l'estensione di questo discorso in dimensione maggiore di 1.
Grazie.
\[
\begin{cases} -u'' = \lambda u \\
u(0)=0=u(1)
\end{cases}
\]
Facendo i conti, cioè risolvendo l'equazione esplicitamente e imponendo le condizioni al contorno, troviamo la successione di autovalori $\lambda_k=(\pi k)^2$ a cui corrispondono le autofunzioni $\sin(k\pi x)$, al variare di $k \in \mathbb N$.
La domanda è: come facciamo ad essere sicuri che quelli trovati sono tutti gli autovalori? Forse c'è qualcosa che mi perdo, ma non riesco a concludere in maniera "elementare". L'unica cosa che mi viene in mente è: le autofunzioni trovate (opportunamente normalizzate) costituiscono un sistema ortonormale completo (cioè una base hilbertiana) di $L^2(0,1)$ (è vero, no? Simmetrizzo per disparità su $(-1,0)$ e sviluppo con Fourier in soli seni). Quindi non possono esserci altre autofunzioni perché "non c'è più spazio". Ma ci sono altri modi per concludere? C'è qualche teorema di unicità relativo alle soluzioni dell'equazione?
Questa è la prima parte della domanda che ho in mente; se vi va, chiarito questo punto, procederò con la seconda parte, che riguarda l'estensione di questo discorso in dimensione maggiore di 1.
Grazie.
Risposte
Non so se ho capito bene la domanda.
Risolvendo esplicitamente l'equazione, come tu hai fatto, arrivi alle condizioni per \(\lambda\)
\[
\begin{cases}
\lambda \geq 0,\\
\sin\sqrt{\lambda} = 0.
\end{cases}
\]
Non mi sembra ci sia spazio per soluzioni diverse da quelle che hai già indicato...
Risolvendo esplicitamente l'equazione, come tu hai fatto, arrivi alle condizioni per \(\lambda\)
\[
\begin{cases}
\lambda \geq 0,\\
\sin\sqrt{\lambda} = 0.
\end{cases}
\]
Non mi sembra ci sia spazio per soluzioni diverse da quelle che hai già indicato...
Intanto grazie per la risposta.
Ho capito dov'era il mio dubbio e penso di averlo risolto nel caso 1-dimensionale, era una cretinata... Quello che mi chiedevo era questo: come faccio ad essere sicuro che risolvendo l'ODE e imponendo le condizioni al bordo trovo tutti gli autovalori? Non è che me ne scappa qualcuno? Ma la risposta è ovviamente no: infatti la ODE è lineare e dunque le soluzioni della ODE costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2, punto. Pertanto ogni soluzione della ODE è di quel tipo.
Ora il caso generale: supponiamo di voler trovare gli autovalori di Dirichlet del laplaciano sul quadrato $Q=[0,1]^2$:
\[
\begin{cases}
- \Delta u = \lambda u & \text{ in } Q \\
u \in H^1_0(Q)
\end{cases}
\]
Separo le variabili $u(x,y)=X(x)Y(y)$ e mi riconduco al problema di sopra per $X,Y$. Alla fine trovo una successione $\lambda_{n,m}$ di autovalori, qualcosa del tipo $(n^2+m^2)\pi^2$ e le autofunzioni saranno $\sin(k\pi x)\sin(h\pi y)$. Ma adesso come faccio a dire che li ho trovati tutti?
Forse che i prodotti $\{\sin(k\pi x)\sin(h\pi y)\}$ formano un sistema ortonormale completo di $L^2(Q)$? C'è qualche altra scappatoia? Grazie ancora.
Ho capito dov'era il mio dubbio e penso di averlo risolto nel caso 1-dimensionale, era una cretinata... Quello che mi chiedevo era questo: come faccio ad essere sicuro che risolvendo l'ODE e imponendo le condizioni al bordo trovo tutti gli autovalori? Non è che me ne scappa qualcuno? Ma la risposta è ovviamente no: infatti la ODE è lineare e dunque le soluzioni della ODE costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2, punto. Pertanto ogni soluzione della ODE è di quel tipo.
Ora il caso generale: supponiamo di voler trovare gli autovalori di Dirichlet del laplaciano sul quadrato $Q=[0,1]^2$:
\[
\begin{cases}
- \Delta u = \lambda u & \text{ in } Q \\
u \in H^1_0(Q)
\end{cases}
\]
Separo le variabili $u(x,y)=X(x)Y(y)$ e mi riconduco al problema di sopra per $X,Y$. Alla fine trovo una successione $\lambda_{n,m}$ di autovalori, qualcosa del tipo $(n^2+m^2)\pi^2$ e le autofunzioni saranno $\sin(k\pi x)\sin(h\pi y)$. Ma adesso come faccio a dire che li ho trovati tutti?
Forse che i prodotti $\{\sin(k\pi x)\sin(h\pi y)\}$ formano un sistema ortonormale completo di $L^2(Q)$? C'è qualche altra scappatoia? Grazie ancora.
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