Suggerimento su problema curve in analisi 2

[ludwigZero]

Ho questo esercizio, ma non riesco a capire una cosa. ECco il testo:

Determinare la lunghezza della curva $\gamma$ rappresentata dall'equazione polare:

$\rho = \rho (\theta)$

$\theta$ appartenente a $[a,b]$

il suggerimento dice:
''si ha: $\theta = \theta(t) = t$

pertanto è:
$l(\gamma)=\int sqrt((\rho')^2 + \rho^2(\theta)) d\theta$

perchè usa $\theta = \theta(t) = t$ ?

[gugo82]

Beh, in coordinate polari hai:
\[
\begin{cases}
x(t) = \rho (t)\ \cos t\\
y(t) = \rho (t)\ \sin t
\end{cases}
\]
ergo:
\[
(x^\prime(t))^2 + (y^\prime (t))^2 = (\rho^\prime (t))^2 + (\rho (t))^2
\]
e la formula segue immediatamente.

[ludwigZero]

viene presentato come un caso particolare di un risultato precedente ovvero:

$l(\gamma) = sqrt ( \dot\rho^2 + \rho^2 (t) \dot\theta^2) dt$

l'unica cosa che io non riesco ancora a capire è perchè pone $\theta = t$ , forse perchè dire $\rho(\theta)$ è come dire $\rho(t)$?