Suggerimento raggio di convergenza
Ciao ragazzi. Sono alla ricerca di un suggerimento per capire perchè
$\sum_{0}^{\infty} \frac{sin^{\alpha} e^{-n}}{n^{3/2}} z^n$
ha raggio di convergenza $e^{\alpha}$
La soluzione mi dice che
$sin^{\alpha} e^{-n}= e^{-\alpha n}[1+O(e^{-2n})]$
come tira fuori questa uguaglianza?
Cioè dallo sviluppo del seno dovrebbe venire che il primo termine della serie centrata in z=0 dovrebbe essere
$\alpha e^{-n}$
$\sum_{0}^{\infty} \frac{sin^{\alpha} e^{-n}}{n^{3/2}} z^n$
ha raggio di convergenza $e^{\alpha}$
La soluzione mi dice che
$sin^{\alpha} e^{-n}= e^{-\alpha n}[1+O(e^{-2n})]$
come tira fuori questa uguaglianza?
Cioè dallo sviluppo del seno dovrebbe venire che il primo termine della serie centrata in z=0 dovrebbe essere
$\alpha e^{-n}$
Risposte
Se ti scrivo:
$(sin( e^(-n)))^alpha$
Prova a svilupparlo
$(sin( e^(-n)))^alpha$
Prova a svilupparlo
$ (sin( e^(-n)))^alpha= sin( alpha e^(-n))$
$sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=$
$=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(alpha e^(-n))^{2n+1}}{(2n+1)!}=$
Oppure
$sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(e^{-n})^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$
$(sin( e^(-n)))^alpha = (\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(e^{-n})^{(2n+1)}}{(2n+1)!})^alpha$
niente sono proprio bloccato. C'è qualche proprietà algebrica banale che mi sfugge
$sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=$
$=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(alpha e^(-n))^{2n+1}}{(2n+1)!}=$
Oppure
$sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(e^{-n})^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$
$(sin( e^(-n)))^alpha = (\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(e^{-n})^{(2n+1)}}{(2n+1)!})^alpha$
niente sono proprio bloccato. C'è qualche proprietà algebrica banale che mi sfugge
Come si dice, per cercare robe difficili non vedi quelle facili:
Sviluppo del seno:
$sin(x)=x +o(x^2)-> sin(e^(-n))= e^(-n) + o(e^(-2n))->(sin(e^(-n)))^alpha=(e^(-n) + o(e^(-2n)))^alpha= e^(-alphan) + o(e^(-2alphan))$
Sviluppo del seno:
$sin(x)=x +o(x^2)-> sin(e^(-n))= e^(-n) + o(e^(-2n))->(sin(e^(-n)))^alpha=(e^(-n) + o(e^(-2n)))^alpha= e^(-alphan) + o(e^(-2alphan))$
Quindi quando ho una serie di potenze elevata a una potenza basta elevare alla stessa potenza ogni termine della serie?
Non proprio, però qui tutti i termini "doppi" e i termini ulteriori sono più grandi dell'o-piccolo che ho messo, quindi non mi danno fastidio, diciamo così.
Perdonami Maci86 e ti ringrazio della pazienza, ma ci sono ancora alcune cose che non mi sono chiare
In che senso non danno fastidio?
Inoltre, se ora dovessi trovare il raggio di convergenza, utilizzo il criterio di D'Alambert (oppure quello di Cauchy-Hadamard) nel seguente modo
$\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|an|} = \frac{e^{\alpha(n+1)}}{n+1}\frac{n}{e^{\alpha n}}= e^{\alpha}$
sulla circonferenza di raggio |z|=R come devo fare?
però qui tutti i termini "doppi" e i termini ulteriori sono più grandi dell'o-piccolo che ho messo, quindi non mi danno fastidio, diciamo così.
In che senso non danno fastidio?
Inoltre, se ora dovessi trovare il raggio di convergenza, utilizzo il criterio di D'Alambert (oppure quello di Cauchy-Hadamard) nel seguente modo
$\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|an|} = \frac{e^{\alpha(n+1)}}{n+1}\frac{n}{e^{\alpha n}}= e^{\alpha}$
sulla circonferenza di raggio |z|=R come devo fare?
Ti faccio un esempio "concreto":
$(e^(-n)+o(e^(-2n))^2= e^-2n + 2o(e^(-3n))+o(e^(-4n))= e^-2n + o(e^(-3n))$
Capito il senso?
Sostituisci al raggio il valore di $|z|$ e studi la singola serie col modulo.
$(e^(-n)+o(e^(-2n))^2= e^-2n + 2o(e^(-3n))+o(e^(-4n))= e^-2n + o(e^(-3n))$
Capito il senso?
Sostituisci al raggio il valore di $|z|$ e studi la singola serie col modulo.
Cioè il senso è che i fattori di infinitesimo superiore al primo li posso approssimare a zero, cioè non mi danno alcuna informazione aggiuntiva sulla convergenza?
E se invece avessi avuto la funzione
$(sin( e^(n)))^alpha$
in questo caso non avrei potuto trascurare i termini superiori esatto?
E se invece avessi avuto la funzione
$(sin( e^(n)))^alpha$
in questo caso non avrei potuto trascurare i termini superiori esatto?
In qualche modo riuscivi a trascurarli, devi stare solo attento a cosa vale quell'alfa..
Alfa è un parametro reale. Il fatto è che non riesco bene a capire perchè posso trascurare i termini superiori al primo nelle due serie che ho proposto, cioè
$(sin( e^(n)))^alpha$
$(sin( e^(-n)))^alpha$
in entrambi i casi considero solo il primo termine dello sviluppo in serie perchè gli altri termini non danno nessun contributo. Ma in generale come mi regolo per determinare di che grado prendere lo sviluppo per trovare il raggio di convergenza?
$(sin( e^(n)))^alpha$
$(sin( e^(-n)))^alpha$
in entrambi i casi considero solo il primo termine dello sviluppo in serie perchè gli altri termini non danno nessun contributo. Ma in generale come mi regolo per determinare di che grado prendere lo sviluppo per trovare il raggio di convergenza?
Nella seconda che è la nostra puoi trascurarli perché andiamo verso 0, nella prima puoi trascurarli quando quella cosa si trova al denominatore perché tende ad infinito più della prima potenza per esempio 
Di solito devi sviluppare abbastanza da ottenere qualche limite notevole, non c'è una regola fissa, se vedi che non risolvi nulla con un certo sviluppo provi ad andare avanti
Di solito devi sviluppare abbastanza da ottenere qualche limite notevole, non c'è una regola fissa, se vedi che non risolvi nulla con un certo sviluppo provi ad andare avanti
Ok ora ci sono 
ti ringrazio della pazienza
ti ringrazio della pazienza
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