Suggerimento per integrale

[Gmork]

Salve,

Qualcuno può darmi un suggerimento per risolvere il seguente integrale?

$\int \frac{1}{\sqrt {-x^2+4x-3}}dx$

Io ho provato con lo scrivere $\sqrt {-x^2+4x-3}=\sqrt {-(x-1)(x-3)}$ ma non mi ha dato grandi risultati

[fireball1]

Scrivi $-x^2+4x-3=1-(x-2)^2$

[Gmork]

Quindi in poche parole dovrebbe venire $\arcsin (x-2)$ ?

[Mathcrazy]

"Orlok":Quindi in poche parole dovrebbe venire $\arcsin (x-2)$ ?

Esattamente.

[Gmork]

In particolare qui mi chiede di vedere se $f(x)=\frac{1}{\sqrt {-x^2+4x-3}}$ è integrabile in senso generalizzato nel suo insieme di definizione. Ora, io ho trovato che l'insieme di definizione è l'intervallo [tex]$]1,3[$[/tex] .

Secondo voi è giusto, per sapere se esiste l'integrale generalizzato $\int_{1}^{3} f(x)dx$ calcolarlo come la somma $\lim_{t\to 2^-}\int_{1}^{t} f(x)dx\ +\lim_{t\to 2^+} \int_{t}^{3} f(x)dx$ ???

[gugo82]

Come al solito Orlok: se hai la primitiva (come in questo caso) puoi usarla; altrimenti vai a controllare se è soddisfatto qualche criterio di sommabilità (tipo "la funzione integranda è infinita in [tex]$x_0$[/tex] d'ordine non superiore ad un numero [tex]$<1$[/tex]"...).

[Gmork]

Cioè posso usare la primitiva come nel calcolo di un integrale definito?

[salvozungri]

"Orlok":In particolare qui mi chiede di vedere se $f(x)=\frac{1}{\sqrt {-x^2+4x-3}}$ è integrabile in senso generalizzato nel suo insieme di definizione. Ora, io ho trovato che l'insieme di definizione è l'intervallo [tex]$]1,3[$[/tex] .

Secondo voi è giusto, per sapere se esiste l'integrale generalizzato $\int_{1}^{3} f(x)dx$ calcolarlo come la somma $\lim_{t\to 2^-}\int_{1}^{t} f(x)dx\ +\lim_{t\to 2^+} \int_{t}^{3} f(x)dx$ ???

In realtà dovresti scrivere
[tex]$\int_{1}^{3} f(x)dx= \lim_{t\to 1^+}\int_{t}^{2} f(x)dx\ +\lim_{t\to 3^-} \int_{2}^{t} f(x)dx$[/tex]. Come faceva notare gugo, avendo la primitiva della funzione puoi tranquillamente utilizzarla.

[Gmork]

Supponendo che io la primitiva non ce l'ho. Seguendo le indicazioni di gugo scoprirei che la funzione integranda è infinita per $x=1$ e per $x=3$ ma l'ordine quanto sarebbe? $1/2$ ?

[salvozungri]

Sì, l'ordine è $1/2$ per entrambi i punti (SE&O)

[Gmork]

Ora, io non ho ben presente la Condizione Sufficiente citata da gugo o semplicemente non so ancora applicarla, ma... il fatto che la funzione integranda sia infinita su $x_0_1$ ed $x_0_2$ dovrebbe lasciare presagire che è integrabile in senso generalizzato in ogni intervallo $[h,k]\sub [x_0_1, x_0_2]$ percaso ???