Suggerimento equazione funzionale
Ciao, vorrei avere conferma su un ragionamento. Si consideri la seguente equazione funzionale (spero che l'esempio sia sensato)
\begin{equation}
\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds=g(t)
\end{equation}
dove $g(t)$ è una funzione nota, continua e limitata, $a$ e $b$ sono due parametri noti ed $f(t)$ è la funzione incognita. Sapendo che
\begin{equation}
\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s^{1-\epsilon}}ds=g(t)
\end{equation}
ammette soluzione per ogni $\epsilon$, posso affermare che la prima equazione ha soluzione?
Io ho pensato che poiché $g(t)$ è limitata, allora $\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds $ deve essere finito per ogni $t$; dunque, poiché $\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s^{1-\epsilon}}ds =\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds$ anche l'equazione di partenza ammette soluzione.
Ritenete sia corretto?
\begin{equation}
\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds=g(t)
\end{equation}
dove $g(t)$ è una funzione nota, continua e limitata, $a$ e $b$ sono due parametri noti ed $f(t)$ è la funzione incognita. Sapendo che
\begin{equation}
\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s^{1-\epsilon}}ds=g(t)
\end{equation}
ammette soluzione per ogni $\epsilon$, posso affermare che la prima equazione ha soluzione?
Io ho pensato che poiché $g(t)$ è limitata, allora $\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds $ deve essere finito per ogni $t$; dunque, poiché $\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s^{1-\epsilon}}ds =\int_0^t\frac{f(as)-f(bs)}{s}ds$ anche l'equazione di partenza ammette soluzione.
Ritenete sia corretto?
Risposte
L'idea è sensata, ma ci devi lavorare su parecchio.
A quanto ho capito, stai supponendo che per ogni \(\varepsilon >0\) "piccolo" esista una funzione \(f_\varepsilon \in L^1(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\quad \int_0^t \frac{f_\varepsilon (as)-f_\varepsilon (bs)}{s^{1-\varepsilon}}\ \text{d} s = g(t)
\]
in cui \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(g\in C(\mathbb{R})\cap L^\infty (\mathbb{R})\).
Quello che vorresti fare è:
[list=1]
[*:2sf7x78q] passare al limite le \(f_\varepsilon\) per \(\varepsilon \to 0^+\), per concludere che la funzione limite:
\[
f(t):=\lim_{\varepsilon \to 0^+} f_\varepsilon (t)
\]
esiste almeno q.o.;
[/*:m:2sf7x78q]
[*:2sf7x78q] passare al limite sotto il segno d'integrale, per concludere che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\quad \int_0^t \frac{f(as)-f(bs)}{s}\ \text{d} s = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^t \frac{f_\varepsilon (as)-f_\varepsilon (bs)}{s^{1-\varepsilon}}\ \text{d} s = \lim_{\varepsilon \to 0^+} g(t) = g(t)\; .
\][/*:m:2sf7x78q][/list:o:2sf7x78q]
Però, in generale, nessuno dei due passaggi 1 e 2 si può fare "impunemente"...
In altre parole, mi pare non ci sia alcuna ragione plausibile "a priori" che ti assicuri che entrambi i passaggi al limite siano leciti; quindi, devi necessariamente dimostrare che va tutto liscio come vuoi tu al limite.
A quanto ho capito, stai supponendo che per ogni \(\varepsilon >0\) "piccolo" esista una funzione \(f_\varepsilon \in L^1(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\quad \int_0^t \frac{f_\varepsilon (as)-f_\varepsilon (bs)}{s^{1-\varepsilon}}\ \text{d} s = g(t)
\]
in cui \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(g\in C(\mathbb{R})\cap L^\infty (\mathbb{R})\).
Quello che vorresti fare è:
[list=1]
[*:2sf7x78q] passare al limite le \(f_\varepsilon\) per \(\varepsilon \to 0^+\), per concludere che la funzione limite:
\[
f(t):=\lim_{\varepsilon \to 0^+} f_\varepsilon (t)
\]
esiste almeno q.o.;
[/*:m:2sf7x78q]
[*:2sf7x78q] passare al limite sotto il segno d'integrale, per concludere che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\quad \int_0^t \frac{f(as)-f(bs)}{s}\ \text{d} s = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^t \frac{f_\varepsilon (as)-f_\varepsilon (bs)}{s^{1-\varepsilon}}\ \text{d} s = \lim_{\varepsilon \to 0^+} g(t) = g(t)\; .
\][/*:m:2sf7x78q][/list:o:2sf7x78q]
Però, in generale, nessuno dei due passaggi 1 e 2 si può fare "impunemente"...
In altre parole, mi pare non ci sia alcuna ragione plausibile "a priori" che ti assicuri che entrambi i passaggi al limite siano leciti; quindi, devi necessariamente dimostrare che va tutto liscio come vuoi tu al limite.
Grazie per la risposta.
Credo che i due passaggi che hai chiaramente illustrato possano derivare dall'assumere che $\frac{f_{\epsilon}(at)-f_{\epsilon}(bt)}{t}\rightarrow\frac{f(at)-f(bt)}{t}$ per $\epsilon\rightarrow 0$ e che $|\frac{f_{\epsilon}(at)-f_{\epsilon}(bt)}{t}|\le h(t)$ $\forall$ $\epsilon$, dove $h(t)$ è integrabile, il tutto per ogni $t$ (praticamente credo di aver dato le condizioni del teorema della convergenza dominata).
Può andare?
Credo che i due passaggi che hai chiaramente illustrato possano derivare dall'assumere che $\frac{f_{\epsilon}(at)-f_{\epsilon}(bt)}{t}\rightarrow\frac{f(at)-f(bt)}{t}$ per $\epsilon\rightarrow 0$ e che $|\frac{f_{\epsilon}(at)-f_{\epsilon}(bt)}{t}|\le h(t)$ $\forall$ $\epsilon$, dove $h(t)$ è integrabile, il tutto per ogni $t$ (praticamente credo di aver dato le condizioni del teorema della convergenza dominata).
Può andare?
Continuo questa discussione aperta qualche tempo fa visto che non sono riuscito a trovare una soluzione.
Il mio obiettivo è mostrare che tale equazione ammette soluzione (se dimostrassi anche l’unicità sarebbe il massimo):
\begin{equation}
f’(y)=g(y)+f(y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}f(z)\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz\qquad (1)
\end{equation}
dove $f(y)$ è la funzione incognita, $g(y)$ è una funzione nota (che non esplicito qua) e continua, $\gamma>0$ noto (con $1-\gamma<0$, $\lambda$ è uno scalare noto, $B$ noto e $y< B$. Collegandomi dunque a quanto riportato nei post precedenti, ho considerato dapprima l’equazione (con $0<\epsilon\le 1$):
\begin{equation}
f’_{\epsilon}(y)=g(y)+f_{\epsilon} (y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{(z-y)^{1-\epsilon}}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}f_{\epsilon} (z)\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{(z-y)^{1-\epsilon}}dz
\end{equation}
E’ noto che la precedente equazione ha un’unica soluzione continua e differenziabile per ogni $0<\epsilon\le1$. Poiché però non conosco la forma esplicita di $f_{\epsilon}$, come potrei mostrare che $f(y):=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}f_{\epsilon}(y)$ esiste per ogni $y
\begin{equation}
f’(y)=g(y)+f(y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{B}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}(f(z)-f(y))\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz \qquad (2)
\end{equation}
Dunque, $\int_{B}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz<\infty $ poichè $B>y$ e $\int_{y}^{B}(f(z)-f(y))\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz <\infty$ ammesso che $\lim_{z\rightarrow y^+}\frac{ f(z)-f(y)}{z-y}$ sia finito. Sotto queste condizioni, avete qualche idea sul come mostrare l’ esistenza della soluzione di $(2)$? Io ho provato a pensare alle iterate di Picard, ma non riesco a formulare il problema in tali termini.
Grazie per l’attenzione.
Il mio obiettivo è mostrare che tale equazione ammette soluzione (se dimostrassi anche l’unicità sarebbe il massimo):
\begin{equation}
f’(y)=g(y)+f(y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}f(z)\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz\qquad (1)
\end{equation}
dove $f(y)$ è la funzione incognita, $g(y)$ è una funzione nota (che non esplicito qua) e continua, $\gamma>0$ noto (con $1-\gamma<0$, $\lambda$ è uno scalare noto, $B$ noto e $y< B$. Collegandomi dunque a quanto riportato nei post precedenti, ho considerato dapprima l’equazione (con $0<\epsilon\le 1$):
\begin{equation}
f’_{\epsilon}(y)=g(y)+f_{\epsilon} (y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{(z-y)^{1-\epsilon}}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}f_{\epsilon} (z)\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{(z-y)^{1-\epsilon}}dz
\end{equation}
E’ noto che la precedente equazione ha un’unica soluzione continua e differenziabile per ogni $0<\epsilon\le1$. Poiché però non conosco la forma esplicita di $f_{\epsilon}$, come potrei mostrare che $f(y):=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}f_{\epsilon}(y)$ esiste per ogni $y
\begin{equation}
f’(y)=g(y)+f(y)\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{B}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz-\frac{e^{\gamma y}}{(1+e^y)\lambda}\int_{y}^{B}(f(z)-f(y))\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz \qquad (2)
\end{equation}
Dunque, $\int_{B}^{\infty}\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz<\infty $ poichè $B>y$ e $\int_{y}^{B}(f(z)-f(y))\frac{e^{-\gamma z}(1+e^z)}{z-y}dz <\infty$ ammesso che $\lim_{z\rightarrow y^+}\frac{ f(z)-f(y)}{z-y}$ sia finito. Sotto queste condizioni, avete qualche idea sul come mostrare l’ esistenza della soluzione di $(2)$? Io ho provato a pensare alle iterate di Picard, ma non riesco a formulare il problema in tali termini.
Grazie per l’attenzione.
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