Suddivisioni

[anto_zoolander]

Dato un intervallo chiuso e limitato $JsubsetRR$ comunque preso un $delta>0$ esiste sempre una suddivisione di $J$ indicizzata dai naturali $S={x_k: k inI_n}$ tale che:

$• max_(k in I_n) |x_k-x_(k-1)|
È vero?

Ho pensato di usare l’archimedeità di $RR$ in questo modo:
Posto $J=[a,b]$

I casi interessanti sono per $delta$ molto piccolo quindi,

[size=160]$forall delta inRR:b-a>delta>0existsn inNN:(b-a)(b-a)/n
Quindi la suddivisione $S={a+k/n(b-a)|k=0,...,n}$ soddisfa la richiesta.

[killing_buddha]

Dalla simbologia non è chiarissimo cosa vuoi ottenere: che cos'è $I_n$? La suddivisione la intendi in termini di subintervalli? Sei familiare con l'idea sotto la dimostrazione del lemma dei numeri di Lebesgue?

Se la domanda è: dato $n$ trovare una suddivisione di $[a,b]$ in sottointervalli contigui e disigunti di ampiezza minore di $\delta$, penso sia facile: si tratta di fare una divisione (come hai detto tu, scegli un passo minore di $(b-a)/n$ e dividi per quello)

[anto_zoolander]

Ancora non ho avuto a che fare con i numeri di Lebesgue.

Diciamo che non mi interessa prendere partizioni dell’intervallo, ma soltanto che esista sempre una successione di reali al più numerabile che mi fornisca una suddivisione di $J$ che abbia ampiezza massima minore di un delta arbitrario.
La parte a cui tengo particolarmente è l’esistenza di quel valore $n$ per cui si abbia la tesi, che è abbastanza facile data l’archimedeità dei reali, però avevo paura di cadere in qualche ovvietà che magari non avevo tenuto in considerazione

Di fatto l’insieme $S_n={a+k/n*(b-a): k=0,...,n}$ è al più infinito numerabile.

In realtà la domanda voleva arrivare da un’altra parte, una volta chiarito questo.
Ovvero cosa succede quando mando $n->+infty$ all’insieme $S_n$ perché ho il presentimento che non possa arrivare a coincidere con tutto l’intervallo.